Номер 1735, страница 203 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Механические колебания и волны. 61. Колебания. Величины, характеризующие колебательное движение. Превращения энергии при колебаниях маятника. Резонанс. Волны. Скорость распространения волны - номер 1735, страница 203.

Решение.

Решение

Полная механическая энергия $\text{E}$ гармонически колеблющегося маятника (в отсутствие сил трения) является постоянной величиной и представляет собой сумму кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий: $E = E_k + E_p = \text{const}$. По условию задачи, требуется найти моменты времени, когда кинетическая энергия равна потенциальной, то есть $E_k = E_p$. В эти моменты полная энергия распределяется между ними поровну: $E = E_k + E_k = 2E_k$, следовательно, $E_k = E_p = E/2$.

Координата $\text{x}$ и скорость $\text{v}$ маятника при гармонических колебаниях изменяются со временем $\text{t}$ по законам: $x(t) = A \cos(\omega t)$ и $v(t) = -A\omega \sin(\omega t)$, где $\text{A}$ — амплитуда, а $\omega$ — циклическая частота колебаний. Мы выбрали косинус для координаты, что соответствует началу движения из положения максимального отклонения.

Кинетическая и потенциальная энергии маятника в любой момент времени $\text{t}$ определяются выражениями: $E_k(t) = \frac{mv^2}{2} = \frac{m( -A\omega \sin(\omega t))^2}{2} = \frac{mA^2\omega^2}{2} \sin^2(\omega t)$ и $E_p(t) = \frac{kx^2}{2} = \frac{k(A \cos(\omega t))^2}{2} = \frac{kA^2}{2} \cos^2(\omega t)$. Полная энергия системы $E = \frac{kA^2}{2} = \frac{mA^2\omega^2}{2}$, так как $\omega^2 = k/m$.

Приравнивая выражения для кинетической и потенциальной энергий, получаем: $\frac{mA^2\omega^2}{2} \sin^2(\omega t) = \frac{mA^2\omega^2}{2} \cos^2(\omega t)$. После сокращения получаем тригонометрическое уравнение: $\sin^2(\omega t) = \cos^2(\omega t)$.

Это уравнение справедливо, когда модули синуса и косинуса равны: $|\sin(\omega t)| = |\cos(\omega t)|$. Это происходит, когда фаза колебаний $\omega t$ принимает значения: $\omega t = \frac{\pi}{4} + n\frac{\pi}{2}$, где $\text{n}$ — любое целое неотрицательное число ($n = 0, 1, 2, \dots$).

Зная, что циклическая частота связана с периодом колебаний $\text{T}$ соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$, найдем искомые моменты времени $\text{t}$: $\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{4} + n\frac{\pi}{2}$. Отсюда $t = \frac{T}{2\pi} \left( \frac{\pi}{4} + n\frac{\pi}{2} \right) = \frac{T}{2\pi} \cdot \frac{\pi(1+2n)}{4} = T\frac{2n+1}{8}$.

Подставляя значения $n = 0, 1, 2, 3, \dots$, получаем последовательность моментов времени: $t = \frac{T}{8}, \frac{3T}{8}, \frac{5T}{8}, \frac{7T}{8}, \dots$.

Ответ: Кинетическая энергия колеблющегося маятника равна его потенциальной энергии в моменты времени $t = \frac{T}{8} + n\frac{T}{4}$, где $\text{T}$ — период колебаний, а $n = 0, 1, 2, \dots$ (любое целое неотрицательное число).