Номер 284, страница 37 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

7 класс. Взаимодействие тел. 12. Сила упругости. Закон Гука. Вес тела. Единицы силы - номер 284, страница 37.

Решение.

Дано:

Материал: сталь
Диаметр бруса, $d = 2$ см
Длина бруса, $L_0 = 16$ м
Растягивающая сила, $F = 36$ кН
Модуль Юнга для стали, $E \approx 200$ ГПа (справочное значение)

Переведем все величины в систему СИ:
$d = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$L_0 = 16 \text{ м}$
$F = 36 \text{ кН} = 36 \times 10^3 \text{ Н}$
$E = 200 \text{ ГПа} = 200 \times 10^9 \text{ Па} = 2 \times 10^{11} \text{ Па}$

Найти:

Удлинение бруса, $\Delta L$

Решение:

Для определения удлинения бруса воспользуемся законом Гука для упругой деформации. Модуль Юнга (модуль упругости) $\text{E}$ связывает механическое напряжение $\sigma$ и относительное удлинение $\varepsilon$ соотношением:

$E = \frac{\sigma}{\varepsilon}$

Механическое напряжение $\sigma$ — это отношение приложенной силы $\text{F}$ к площади поперечного сечения $\text{S}$:

$\sigma = \frac{F}{S}$

Относительное удлинение $\varepsilon$ — это отношение абсолютного удлинения $\Delta L$ к начальной длине $L_0$:

$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$

Подставим выражения для $\sigma$ и $\varepsilon$ в формулу для модуля Юнга:

$E = \frac{F/S}{\Delta L/L_0} = \frac{F \cdot L_0}{S \cdot \Delta L}$

Выразим из этого уравнения искомую величину — абсолютное удлинение $\Delta L$:

$\Delta L = \frac{F \cdot L_0}{E \cdot S}$

Брус имеет круглое поперечное сечение, поэтому его площадь $\text{S}$ можно найти по формуле площади круга через диаметр $\text{d}$:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Рассчитаем площадь поперечного сечения:

$S = \frac{\pi \cdot (0.02 \text{ м})^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0.0004 \text{ м}^2}{4} = \pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Теперь подставим все известные значения в формулу для $\Delta L$ и произведем вычисления:

$\Delta L = \frac{(36 \times 10^3 \text{ Н}) \cdot (16 \text{ м})}{(2 \times 10^{11} \text{ Па}) \cdot (\pi \times 10^{-4} \text{ м}^2)} = \frac{576 \times 10^3}{2\pi \times 10^7} \text{ м} = \frac{288}{\pi} \times 10^{-4} \text{ м}$

$\Delta L \approx \frac{288}{3.14159} \times 10^{-4} \text{ м} \approx 91.67 \times 10^{-4} \text{ м} \approx 0.00917 \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры для удобства:

$0.00917 \text{ м} = 9.17 \text{ мм}$

Ответ: удлинение бруса составляет примерно $9.17$ мм.