Творческие задания, страница 162 - гдз по физике 7 класс учебник Закирова, Аширов

Творческое задание

В дополнительной литературе найдите легенду о короне царя Гиерона. Решите задачу Архимеда, предположив, что корона в воздухе весит $20\ \text{Н}$, а в воде — $18,75\ \text{Н}$. Считая, что в корону подмешено только серебро, определите в ней массу золота и серебра. Примите значение плотности золота равным $20\ 000\ \text{кг}/\text{м}^3$, плотность серебра — $10\ 000\ \text{кг}/\text{м}^3$.

Легенда о короне царя Гиерона

Согласно легенде, сиракузский царь Гиерон II поручил ювелиру изготовить корону из чистого золота, выдав ему для этого точное количество драгоценного металла. Когда корона была готова, её вес совпал с весом выданного золота. Однако царь заподозрил, что ювелир мог обмануть его, подменив часть золота более дешёвым серебром. Гиерон обратился к своему родственнику, великому учёному Архимеду, с просьбой определить, есть ли в короне примеси, не повредив при этом само изделие.

Решение пришло к Архимеду, когда он принимал ванну. Он заметил, что его тело, погружаясь в воду, вытесняет определённый объём жидкости, и уровень воды в ванне поднимается. Архимед понял, что объём вытесненной воды равен объёму погружённого в неё тела. Это означало, что он может измерить объём короны, погрузив её в воду. Поскольку золото значительно плотнее серебра, корона из чистого золота имела бы меньший объём (и вытеснила бы меньше воды), чем корона того же веса, но из сплава золота и серебра. Обнаружив этот принцип, Архимед, по преданию, выбежал на улицу с криком "Эврика!" ("Нашёл!"). Проведя опыт, он доказал, что корона была не из чистого золота, и ювелир был уличён в мошенничестве.

Решение задачи Архимеда

Дано:

Вес короны в воздухе $P_{возд} = 20 \text{ Н}$

Вес короны в воде $P_{воды} = 18,75 \text{ Н}$

Плотность золота $\rho_{з} = 20000 \text{ кг/м}^3$

Плотность серебра $\rho_{с} = 10000 \text{ кг/м}^3$

Для решения задачи примем стандартные значения плотности пресной воды $\rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3$ и ускорения свободного падения $g = 10 \text{ Н/кг}$.

Найти:

Массу золота в короне $m_{з}$

Массу серебра в короне $m_{с}$

Решение:

1. Найдём общую массу короны ($m_{общ}$) из её веса в воздухе. Вес в воздухе равен $P_{возд} = m_{общ} \cdot g$.

$m_{общ} = \frac{P_{возд}}{g} = \frac{20 \text{ Н}}{10 \text{ Н/кг}} = 2 \text{ кг}$

Общая масса короны складывается из массы золота и массы серебра:

$m_{з} + m_{с} = 2 \text{ кг}$ (1)

2. По разнице веса короны в воздухе и в воде найдём выталкивающую силу (силу Архимеда) $F_A$, действующую на корону в воде:

$F_A = P_{возд} - P_{воды} = 20 \text{ Н} - 18,75 \text{ Н} = 1,25 \text{ Н}$

3. Сила Архимеда также определяется формулой $F_A = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{общ}$, где $V_{общ}$ — общий объём короны. Выразим из этой формулы объём короны:

$V_{общ} = \frac{F_A}{\rho_{в} \cdot g} = \frac{1,25 \text{ Н}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ Н/кг}} = \frac{1,25}{10000} \text{ м}^3 = 0,000125 \text{ м}^3$

4. Общий объём короны равен сумме объёмов золота ($V_з$) и серебра ($V_с$):

$V_{общ} = V_{з} + V_{с}$

Объём каждого металла можно выразить через его массу и плотность по формуле $V = m/\rho$.

$\frac{m_{з}}{\rho_{з}} + \frac{m_{с}}{\rho_{с}} = V_{общ}$

$\frac{m_{з}}{20000} + \frac{m_{с}}{10000} = 0,000125$ (2)

5. Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, (1) и (2). Решим её. Из уравнения (1) выразим массу серебра: $m_{с} = 2 - m_{з}$.

Подставим это выражение в уравнение (2):

$\frac{m_{з}}{20000} + \frac{2 - m_{з}}{10000} = 0,000125$

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 20000:

$m_{з} + 2(2 - m_{з}) = 0,000125 \cdot 20000$

$m_{з} + 4 - 2m_{з} = 2,5$

$4 - m_{з} = 2,5$

$m_{з} = 4 - 2,5 = 1,5 \text{ кг}$

6. Теперь найдём массу серебра, подставив найденное значение $m_{з}$ в выражение $m_{с} = 2 - m_{з}$:

$m_{с} = 2 - 1,5 = 0,5 \text{ кг}$

Таким образом, в короне содержится 1,5 кг золота и 0,5 кг серебра.

Ответ: масса золота в короне составляет 1,5 кг, масса серебра — 0,5 кг.