Номер 829, страница 212 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 6 - номер 829, страница 212.

Условие.

829 Через точку $M$, лежащую внутри параллелограмма $ABCD$, проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекающие стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно в точках $P$, $Q$, $R$ и $T$. Докажите, что если точка $M$ лежит на диагонали $AC$, то площади параллелограммов $MPBQ$ и $MRDT$ равны и, обратно, если площади параллелограммов $MPBQ$ и $MRDT$ равны, то точка $M$ лежит на диагонали $AC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 10.

Задача состоит из двух частей: прямого и обратного утверждения. Докажем оба.

1. Прямое утверждение: если точка M лежит на диагонали AC, то площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны.

Пусть точка $M$ лежит на диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$. Диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на два треугольника равной площади: $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC}$.

Через точку $M$ проведены прямые, параллельные сторонам параллелограмма. Эти прямые образуют четыре меньших параллелограмма. Обозначим их $APMT$, $MPBQ$, $MQCR$ и $MRDT$.

Поскольку точка $M$ лежит на диагонали $AC$, отрезок $AM$ является диагональю параллелограмма $APMT$, а отрезок $MC$ является диагональю параллелограмма $MQCR$. Диагональ делит параллелограмм на два равновеликих треугольника, следовательно:
$S_{\triangle APM} = S_{\triangle ATM}$
$S_{\triangle MQC} = S_{\triangle MRC}$

Площадь треугольника $ABC$ можно представить как сумму площадей фигур, на которые он разбит:
$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle APM} + S_{MPBQ} + S_{\triangle MQC}$

Аналогично для треугольника $ADC$:
$S_{\triangle ADC} = S_{\triangle ATM} + S_{MRDT} + S_{\triangle MRC}$

Так как $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC}$, мы можем приравнять правые части этих выражений:
$S_{\triangle APM} + S_{MPBQ} + S_{\triangle MQC} = S_{\triangle ATM} + S_{MRDT} + S_{\triangle MRC}$

Учитывая, что $S_{\triangle APM} = S_{\triangle ATM}$ и $S_{\triangle MQC} = S_{\triangle MRC}$, мы можем заменить соответствующие площади в равенстве:
$S_{\triangle ATM} + S_{MPBQ} + S_{\triangle MRC} = S_{\triangle ATM} + S_{MRDT} + S_{\triangle MRC}$

Вычитая из обеих частей равенства $S_{\triangle ATM}$ и $S_{\triangle MRC}$, получаем:
$S_{MPBQ} = S_{MRDT}$

Ответ: Прямое утверждение доказано.

2. Обратное утверждение: если площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны, то точка M лежит на диагонали AC.

Пусть площади параллелограммов $MPBQ$ и $MRDT$ равны: $S_{MPBQ} = S_{MRDT}$.

Используем формулу площади параллелограмма: $S = a \cdot b \cdot \sin\theta$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, а $\theta$ — угол между ними.

Пусть $\angle A = \alpha$, тогда $\angle B = \angle D = 180^\circ - \alpha$. Отсюда $\sin(\angle B) = \sin(\angle D) = \sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.

Обозначим длины отрезков: $AP = x$ и $AT = y$.
Из свойств построенных параллелограммов следует:
Стороны $MPBQ$: $PB = AB - AP = AB - x$ и $BQ = AT = y$.
Стороны $MRDT$: $RD = AP = x$ и $TD = AD - AT = AD - y$.

Запишем площади:
$S_{MPBQ} = PB \cdot BQ \cdot \sin(\angle B) = (AB - x) \cdot y \cdot \sin(\alpha)$
$S_{MRDT} = RD \cdot TD \cdot \sin(\angle D) = x \cdot (AD - y) \cdot \sin(\alpha)$

По условию, эти площади равны:
$(AB - x) \cdot y \cdot \sin(\alpha) = x \cdot (AD - y) \cdot \sin(\alpha)$

Поскольку для невырожденного параллелограмма $\sin(\alpha) \neq 0$, мы можем сократить на него:
$(AB - x)y = x(AD - y)$
$AB \cdot y - xy = AD \cdot x - xy$
$AB \cdot y = AD \cdot x$

Перепишем это соотношение в виде пропорции:
$\frac{y}{x} = \frac{AD}{AB}$ или, что то же самое, $\frac{AP}{AT} = \frac{AB}{AD}$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle APM$ и $\triangle ADC$. Нет, рассмотрим подобные треугольники, образованные диагональю $AC$. Точка лежит на диагонали $AC$ тогда и только тогда, когда треугольники $\triangle APM'$ (где $M'$ - точка пересечения прямой $PQ$ с $AC$) и $\triangle ABC$ подобны, и также $\triangle ATM''$ (где $M''$ - точка пересечения прямой $TR$ с $AC$) и $\triangle ADC$ подобны. Из подобия $\triangle APM' \sim \triangle ABC$ следует $\frac{AP}{AB} = \frac{AM'}{AC}$. Из подобия $\triangle ATM'' \sim \triangle ADC$ (так как $TM'' \parallel DC$) следует $\frac{AT}{AD} = \frac{AM''}{AC}$.
Наше условие $AB \cdot y = AD \cdot x$ эквивалентно $\frac{y}{AD} = \frac{x}{AB}$, то есть $\frac{AT}{AD} = \frac{AP}{AB}$.
Из этого следует, что $\frac{AM'}{AC} = \frac{AM''}{AC}$, а значит $AM' = AM''$. Поскольку точки $M'$ и $M''$ лежат на одном отрезке $AC$, они совпадают. Точка $M$ является точкой пересечения прямых $PQ$ и $TR$. Так как $M'$ лежит на $PQ$ и $AC$, а $M''$ лежит на $TR$ и $AC$, и $M'=M''$, то эта общая точка и есть точка $M$. Следовательно, точка $M$ лежит на диагонали $AC$.

Ответ: Обратное утверждение доказано.