Номер 831, страница 212 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 6 - номер 831, страница 212.

Условие.

831 На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты точки M и K, а на отрезке MK — точка P так, что $\frac{AM}{MC} = \frac{CK}{KB} = \frac{MP}{PK}$. Найдите площадь треугольника ABC, если площади треугольников AMP и BKP равны $S_1$ и $S_2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Обозначим данное в условии отношение через $x$:

$\frac{AM}{MC} = \frac{CK}{KB} = \frac{MP}{PK} = x$

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Примем точку $C$ за начало координат. Введем базисные векторы $\vec{CA} = \mathbf{a}$ и $\vec{CB} = \mathbf{b}$. Тогда площадь треугольника $ABC$, которую мы обозначим как $S$, выражается формулой:

$S = S_{ABC} = \frac{1}{2} |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$

Теперь выразим радиус-векторы точек $M$, $K$ и $P$ через векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$.

Точка $M$ лежит на стороне $AC$, и $\frac{AM}{MC} = x$. Это означает, что $AM = x \cdot MC$, и $AC = AM + MC = (x+1)MC$. Следовательно, $MC = \frac{1}{x+1}AC$. Тогда радиус-вектор точки $M$ будет:

$\vec{CM} = \frac{1}{x+1}\vec{CA} = \frac{1}{x+1}\mathbf{a}$

Точка $K$ лежит на стороне $BC$, и $\frac{CK}{KB} = x$. Это означает, что $CK = x \cdot KB$, и $BC = CK + KB = (x+1)KB$. Следовательно, $CK = \frac{x}{x+1}BC$. Тогда радиус-вектор точки $K$ будет:

$\vec{CK} = \frac{x}{x+1}\vec{CB} = \frac{x}{x+1}\mathbf{b}$

Точка $P$ лежит на отрезке $MK$, и $\frac{MP}{PK} = x$. Это означает, что точка $P$ делит отрезок $MK$ в отношении $x:1$. По формуле деления отрезка в данном отношении, радиус-вектор точки $P$ равен:

$\vec{CP} = \frac{1 \cdot \vec{CM} + x \cdot \vec{CK}}{1+x} = \frac{1}{x+1}\left(\frac{1}{x+1}\mathbf{a} + x \cdot \frac{x}{x+1}\mathbf{b}\right) = \frac{1}{(x+1)^2}(\mathbf{a} + x^2\mathbf{b})$

Теперь вычислим площади треугольников $AMP$ ($S_1$) и $BKP$ ($S_2$).

Площадь треугольника $AMP$ равна $S_1 = \frac{1}{2}|\vec{MA} \times \vec{MP}|$.

Найдем векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MP}$:

$\vec{MA} = \vec{CA} - \vec{CM} = \mathbf{a} - \frac{1}{x+1}\mathbf{a} = \frac{x}{x+1}\mathbf{a}$

$\vec{MP} = \vec{CP} - \vec{CM} = \frac{1}{(x+1)^2}(\mathbf{a} + x^2\mathbf{b}) - \frac{1}{x+1}\mathbf{a} = \frac{1-(x+1)}{(x+1)^2}\mathbf{a} + \frac{x^2}{(x+1)^2}\mathbf{b} = \frac{-x}{(x+1)^2}\mathbf{a} + \frac{x^2}{(x+1)^2}\mathbf{b}$

Тогда площадь $S_1$:

$S_1 = \frac{1}{2}\left|\left(\frac{x}{x+1}\mathbf{a}\right) \times \left(\frac{-x}{(x+1)^2}\mathbf{a} + \frac{x^2}{(x+1)^2}\mathbf{b}\right)\right| = \frac{1}{2}\left|\frac{x \cdot x^2}{(x+1)(x+1)^2}(\mathbf{a} \times \mathbf{b})\right| = \frac{x^3}{(x+1)^3} \cdot \frac{1}{2}|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$

$S_1 = \frac{x^3}{(x+1)^3}S$

Площадь треугольника $BKP$ равна $S_2 = \frac{1}{2}|\vec{KB} \times \vec{KP}|$.

Найдем векторы $\vec{KB}$ и $\vec{KP}$:

$\vec{KB} = \vec{CB} - \vec{CK} = \mathbf{b} - \frac{x}{x+1}\mathbf{b} = \frac{1}{x+1}\mathbf{b}$

$\vec{KP} = \vec{CP} - \vec{CK} = \frac{1}{(x+1)^2}(\mathbf{a} + x^2\mathbf{b}) - \frac{x}{x+1}\mathbf{b} = \frac{1}{(x+1)^2}\mathbf{a} + \frac{x^2-x(x+1)}{(x+1)^2}\mathbf{b} = \frac{1}{(x+1)^2}\mathbf{a} - \frac{x}{(x+1)^2}\mathbf{b}$

Тогда площадь $S_2$:

$S_2 = \frac{1}{2}\left|\left(\frac{1}{x+1}\mathbf{b}\right) \times \left(\frac{1}{(x+1)^2}\mathbf{a} - \frac{x}{(x+1)^2}\mathbf{b}\right)\right| = \frac{1}{2}\left|\frac{1}{(x+1)(x+1)^2}(\mathbf{b} \times \mathbf{a})\right| = \frac{1}{(x+1)^3} \cdot \frac{1}{2}|-\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$

$S_2 = \frac{1}{(x+1)^3}S$

Мы получили систему из двух уравнений:

$S_1 = \left(\frac{x}{x+1}\right)^3 S$

$S_2 = \left(\frac{1}{x+1}\right)^3 S$

Извлечем кубический корень из обоих уравнений:

$\sqrt[3]{S_1} = \frac{x}{x+1}\sqrt[3]{S}$

$\sqrt[3]{S_2} = \frac{1}{x+1}\sqrt[3]{S}$

Сложим эти два равенства:

$\sqrt[3]{S_1} + \sqrt[3]{S_2} = \left(\frac{x}{x+1} + \frac{1}{x+1}\right)\sqrt[3]{S} = \frac{x+1}{x+1}\sqrt[3]{S} = \sqrt[3]{S}$

Таким образом, мы нашли связь между площадями:

$\sqrt[3]{S} = \sqrt[3]{S_1} + \sqrt[3]{S_2}$

Возведя обе части в куб, получим искомую площадь треугольника $ABC$:

$S = (\sqrt[3]{S_1} + \sqrt[3]{S_2})^3$

Ответ: $(\sqrt[3]{S_1} + \sqrt[3]{S_2})^3$