Номер 827, страница 212 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 5 - номер 827, страница 212.

Условие.

827 Постройте равнобедренную трапецию по основаниям и диагонали.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 10.

Для построения равнобедренной трапеции по заданным основаниям $a$ и $b$ и диагонали $d$ необходимо выполнить следующие шаги, основанные на методе вспомогательного треугольника.

Анализ

Предположим, что искомая равнобедренная трапеция $ABCD$ построена. Пусть $AD$ и $BC$ — ее основания, $AD=a$, $BC=b$. Так как трапеция равнобедренная, ее диагонали равны: $AC=BD=d$.

Выполним дополнительное построение: через вершину $C$ проведем прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$. Рассмотрим получившийся четырехугольник $BCED$. В нем $BC || DE$ (так как $BC || AD$) и $CE || BD$ (по построению). Следовательно, $BCED$ — параллелограмм. Из этого следует, что $DE = BC = b$ и $CE = BD = d$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACE$. Длины его сторон нам известны:

• $AC = d$ (диагональ трапеции).
• $CE = BD = d$ (свойство параллелограмма и условие для равнобедренной трапеции).
• $AE = AD + DE = a + b$.

Таким образом, задача сводится к построению равнобедренного треугольника $ACE$ по трем сторонам ($d, d, a+b$), а затем к определению положения вершин $D$ и $B$. Отметим, что для возможности построения должно выполняться неравенство треугольника: $d+d > a+b$, то есть $2d > a+b$.

Построение

1. На произвольной прямой $l$ выбираем точку $A$. Откладываем на этой прямой отрезок $AE$, равный сумме длин оснований $a+b$. Для этого от точки $A$ откладываем отрезок $AD=a$, а затем от точки $D$ в том же направлении откладываем отрезок $DE=b$.
2. Строим вершину $C$. Для этого проводим две дуги окружностей с одинаковым радиусом $d$: одну с центром в точке $A$, другую — с центром в точке $E$. Точка пересечения этих дуг (можно выбрать любую из двух) и будет вершиной $C$.
3. Соединяем точки $A$ и $C$, получаем диагональ трапеции. Вершины $A, D, C$ теперь известны.
4. Строим вершину $B$. Через точку $C$ проводим прямую $m$, параллельную прямой $l$.
5. На прямой $m$ откладываем отрезок $CB$ длиной $b$ таким образом, чтобы четырехугольник $ABCD$ был непересекающейся трапецией (вектор $\vec{CB}$ должен быть равен вектору $\vec{DE}$).
6. Соединяем последовательно точки $A, B, C$ и $D$.

Доказательство

В построенном четырехугольнике $ABCD$ по построению:

• Основание $AD = a$.
• Основание $BC = b$, и $BC || AD$. Следовательно, $ABCD$ — трапеция с заданными основаниями.
• Диагональ $AC = d$.
• Так как $BCED$ является параллелограммом (по шагам 1, 4 и 5, $\vec{CB} = \vec{DE}$), то $BD=CE$. А поскольку $CE=d$ (по шагу 2), то и $BD=d$.
• Мы получили трапецию, у которой диагонали равны ($AC=BD=d$). Такая трапеция является равнобедренной.

Все условия задачи выполнены, следовательно, построенная трапеция является искомой.

Ответ: Искомая трапеция построена по приведенному алгоритму.