Номер 833, страница 212 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 6 - номер 833, страница 212.

Условие.

833 Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, проведённый из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. Пусть $M$ — середина боковой стороны $CD$. Пусть $MK$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на прямую, содержащую боковую сторону $AB$. Требуется доказать, что площадь трапеции $S_{ABCD}$ равна $AB \cdot MK$.

Доказательство:

1. Выполним дополнительное построение. Продлим луч $BM$ до его пересечения с прямой $AD$ в точке $E$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle BCM$ и $\triangle EDM$.

• $CM = MD$ по условию, так как $M$ — середина стороны $CD$.
• $\angle BCM = \angle EDM$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AE$ (прямая $AD$) и секущей $CE$.
• $\angle CMB = \angle DME$ как вертикальные углы.

Следовательно, $\triangle BCM \cong \triangle EDM$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

3. Из равенства треугольников следует равенство их площадей: $S_{\triangle BCM} = S_{\triangle EDM}$.

Площадь трапеции $ABCD$ можно выразить как сумму площадей четырехугольника $ABMD$ и треугольника $BCM$: $S_{ABCD} = S_{ABMD} + S_{\triangle BCM}$.

Заменив в этом выражении площадь $S_{\triangle BCM}$ на равную ей площадь $S_{\triangle EDM}$, получим: $S_{ABCD} = S_{ABMD} + S_{\triangle EDM}$.

Сумма площадей четырехугольника $ABMD$ и треугольника $EDM$ составляет площадь треугольника $ABE$. Таким образом, мы показали, что площадь трапеции $ABCD$ равна площади треугольника $ABE$: $S_{ABCD} = S_{\triangle ABE}$.

4. Теперь найдем площадь треугольника $ABE$. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Примем сторону $AB$ за основание треугольника $ABE$. Тогда его высота будет равна длине перпендикуляра, опущенного из вершины $E$ на прямую $AB$. Обозначим этот перпендикуляр $EH$.

$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot EH$.

5. Из равенства треугольников $\triangle BCM \cong \triangle EDM$ следует также и равенство соответствующих сторон: $BM = ME$. Это означает, что точка $M$ является серединой стороны $BE$ в треугольнике $ABE$.

Рассмотрим отрезки $MK$ и $EH$. По условию $MK \perp AB$, и по построению $EH \perp AB$, следовательно, $MK \parallel EH$. Так как $M$ — середина отрезка $BE$, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии трапеции, если рассмотреть трапецию с вершинами в точках $B, E$ и их проекциях на прямую $AB$), отрезок $MK$ является средней линией для треугольника $BEH'$, где $H'$ - проекция точки $E$ на прямую, проходящую через $B$ и параллельную $MK$. Проще говоря, расстояние от середины отрезка до прямой равно полусумме расстояний от его концов до той же прямой.

Расстояние от точки $B$ до прямой $AB$ равно $0$. Расстояние от точки $E$ до прямой $AB$ равно $EH$. Следовательно, расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ равно: $MK = \frac{0 + EH}{2} = \frac{EH}{2}$.

Отсюда получаем, что $EH = 2 \cdot MK$.

6. Подставим это выражение для $EH$ в формулу площади треугольника $ABE$:

$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot (2 \cdot MK) = AB \cdot MK$.

Поскольку мы ранее доказали, что $S_{ABCD} = S_{\triangle ABE}$, то окончательно получаем:

$S_{ABCD} = AB \cdot MK$.

Таким образом, доказано, что площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, проведённый из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.