Номер 836, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 6 - номер 836, страница 213.

Условие.

836 Прямая, проходящая через середины диагоналей $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$, пересекает стороны $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $K$. Докажите, что площади треугольников $DCM$ и $AKB$ равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 10.

Обозначим через $P$ и $Q$ середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. По условию, прямая, проходящая через точки $M$ и $K$, также проходит через точки $P$ и $Q$. Обозначим эту прямую как $l$.

Для любой прямой, расстояние от середины отрезка до этой прямой равно полусумме расстояний от концов отрезка до той же прямой (с учётом знака). Так как точка $P$ лежит на прямой $l$, расстояние от $P$ до $l$ равно нулю. Следовательно, полусумма расстояний от точек $A$ и $C$ до прямой $l$ равна нулю. Это означает, что точки $A$ и $C$ находятся на равных расстояниях от прямой $l$, но по разные стороны от неё.

Аналогично, так как точка $Q$ — середина $BD$ и лежит на прямой $l$, точки $B$ и $D$ находятся на равных расстояниях от прямой $l$, но по разные стороны от неё.

Введём систему координат так, чтобы прямая $l$ была осью абсцисс ($Ox$). Тогда ординаты точек $M$ и $K$ равны нулю. Пусть высоты (расстояния с учётом знака), опущенные из вершин четырёхугольника на прямую $l$, равны $h_A, h_B, h_C, h_D$. Исходя из вышесказанного, мы имеем:

$h_C = -h_A$

$h_D = -h_B$

Таким образом, координаты вершин можно записать как $A(x_A, h_A)$, $B(x_B, h_B)$, $C(x_C, -h_A)$, $D(x_D, -h_B)$. Координаты точек $M$ и $K$, лежащих на оси $Ox$, будут $M(x_M, 0)$ и $K(x_K, 0)$.

Площадь треугольника с вершинами $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

Вычислим площадь треугольника $DCM$: $S_{\triangle DCM} = \frac{1}{2} |x_D(y_C - y_M) + x_C(y_M - y_D) + x_M(y_D - y_C)|$ Подставляя ординаты $y_D = -h_B$, $y_C = -h_A$, $y_M = 0$: $S_{\triangle DCM} = \frac{1}{2} |x_D(-h_A - 0) + x_C(0 - (-h_B)) + x_M(-h_B - (-h_A))| = \frac{1}{2} |-x_D h_A + x_C h_B + x_M(h_A - h_B)|$

Вычислим площадь треугольника $AKB$: $S_{\triangle AKB} = \frac{1}{2} |x_A(y_K - y_B) + x_K(y_B - y_A) + x_B(y_A - y_K)|$ Подставляя ординаты $y_A = h_A$, $y_B = h_B$, $y_K = 0$: $S_{\triangle AKB} = \frac{1}{2} |x_A(0 - h_B) + x_K(h_B - h_A) + x_B(h_A - 0)| = \frac{1}{2} |-x_A h_B + x_B h_A + x_K(h_B - h_A)|$

Точка $M(x_M, 0)$ лежит на прямой $AB$, проходящей через $A(x_A, h_A)$ и $B(x_B, h_B)$. Уравнение прямой $AB$: $\frac{x - x_A}{x_B - x_A} = \frac{y - h_A}{h_B - h_A}$. Подставив координаты точки $M$: $\frac{x_M - x_A}{x_B - x_A} = \frac{0 - h_A}{h_B - h_A} \implies x_M - x_A = -h_A \frac{x_B - x_A}{h_B - h_A}$ $x_M = x_A - \frac{h_A(x_B - x_A)}{h_B - h_A} = \frac{x_A(h_B - h_A) - h_A(x_B - x_A)}{h_B - h_A} = \frac{x_A h_B - x_B h_A}{h_B - h_A}$

Точка $K(x_K, 0)$ лежит на прямой $CD$, проходящей через $C(x_C, -h_A)$ и $D(x_D, -h_B)$. Уравнение прямой $CD$: $\frac{x - x_C}{x_D - x_C} = \frac{y - (-h_A)}{-h_B - (-h_A)} = \frac{y + h_A}{h_A - h_B}$. Подставив координаты точки $K$: $\frac{x_K - x_C}{x_D - x_C} = \frac{0 + h_A}{h_A - h_B} \implies x_K - x_C = h_A \frac{x_D - x_C}{h_A - h_B}$ $x_K = x_C + \frac{h_A(x_D - x_C)}{h_A - h_B} = \frac{x_C(h_A - h_B) + h_A(x_D - x_C)}{h_A - h_B} = \frac{x_D h_A - x_C h_B}{h_A - h_B}$

Подставим найденные выражения для $x_M$ и $x_K$ в формулы для площадей. Для $S_{\triangle DCM}$: $2S_{\triangle DCM} = |-x_D h_A + x_C h_B + \frac{x_A h_B - x_B h_A}{h_B - h_A}(h_A - h_B)| = |-x_D h_A + x_C h_B - (x_A h_B - x_B h_A)|$ $2S_{\triangle DCM} = |-x_D h_A + x_C h_B - x_A h_B + x_B h_A| = |h_A(x_B - x_D) + h_B(x_C - x_A)|$

Для $S_{\triangle AKB}$: $2S_{\triangle AKB} = |-x_A h_B + x_B h_A + \frac{x_D h_A - x_C h_B}{h_A - h_B}(h_B - h_A)| = |-x_A h_B + x_B h_A - (x_D h_A - x_C h_B)|$ $2S_{\triangle AKB} = |-x_A h_B + x_B h_A - x_D h_A + x_C h_B| = |h_A(x_B - x_D) + h_B(x_C - x_A)|$

Мы получили, что выражения для удвоенных площадей треугольников $DCM$ и $AKB$ совпадают. Следовательно, равны и сами площади. $S_{\triangle DCM} = S_{\triangle AKB}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Площади треугольников $DCM$ и $AKB$ равны.