Номер 841, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 6 - номер 841, страница 213.

Условие.

841. Прямая, проходящая через вершину C параллелограмма ABCD, пересекает прямые AB и AD в точках K и M. Найдите площадь этого параллелограмма, если площади треугольников KBC и CDM равны соответственно $S_1$ и $S_2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть S - искомая площадь параллелограмма ABCD.

Обозначим длины сторон параллелограмма: $AB = CD = a$ и $AD = BC = b$.

Пусть $h_{a}$ — высота параллелограмма, проведенная к стороне AB, а $h_{b}$ — высота, проведенная к стороне AD. Тогда площадь параллелограмма можно выразить как $S = a \cdot h_{a}$ и $S = b \cdot h_{b}$.

Заметим, что для того, чтобы прямая, проходящая через C, пересекала прямые AB и AD, точки пересечения K и M должны лежать на продолжениях сторон. Рассмотрим случай, когда точка K лежит на продолжении стороны AB за точку B, а точка M — на продолжении стороны AD за точку D. (Другие случаи расположения точек приводят к тому же результату).

Рассмотрим треугольник KBC. Его основание BK лежит на прямой AB. Высота этого треугольника, опущенная из вершины C на прямую AB, совпадает с высотой параллелограмма $h_{a}$. Таким образом, площадь треугольника KBC равна:

$S_1 = \frac{1}{2} BK \cdot h_{a}$

Отсюда можно выразить длину отрезка BK:

$BK = \frac{2S_1}{h_{a}}$

Аналогично, для треугольника CDM его основание DM лежит на прямой AD, а высота, опущенная из вершины C на прямую AD, совпадает с высотой параллелограмма $h_{b}$. Площадь треугольника CDM равна:

$S_2 = \frac{1}{2} DM \cdot h_{b}$

Отсюда выразим длину отрезка DM:

$DM = \frac{2S_2}{h_{b}}$

Теперь найдем связь между длинами полученных отрезков. Поскольку BC || AD (свойство параллелограмма), то и BC || AM. Следовательно, треугольник KBC подобен треугольнику KAM ($\triangle KBC \sim \triangle KAM$) по двум углам: $\angle K$ — общий, а $\angle KBC = \angle KAM$ как соответственные углы при параллельных прямых BC и AM и секущей AK.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{BK}{KA} = \frac{BC}{AM}$

Подставим в это соотношение выражения для длин отрезков: $KA = AB + BK = a + BK$ и $AM = AD + DM = b + DM$.

$\frac{BK}{a + BK} = \frac{b}{b + DM}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$BK \cdot (b + DM) = b \cdot (a + BK)$

$b \cdot BK + BK \cdot DM = a \cdot b + b \cdot BK$

Вычитая из обеих частей $b \cdot BK$, приходим к ключевому соотношению:

$BK \cdot DM = a \cdot b$

Теперь подставим в это равенство выражения для BK и DM, которые мы получили ранее из формул для площадей $S_1$ и $S_2$:

$(\frac{2S_1}{h_{a}}) \cdot (\frac{2S_2}{h_{b}}) = a \cdot b$

$\frac{4S_1 S_2}{h_{a} \cdot h_{b}} = a \cdot b$

Из формул для площади параллелограмма S выразим высоты через площадь и стороны: $h_{a} = S/a$ и $h_{b} = S/b$. Подставим их в полученное уравнение:

$\frac{4S_1 S_2}{(S/a) \cdot (S/b)} = a \cdot b$

$\frac{4S_1 S_2 \cdot a \cdot b}{S^2} = a \cdot b$

Поскольку стороны параллелограмма имеют ненулевую длину ($a \cdot b \neq 0$), мы можем разделить обе части равенства на $a \cdot b$:

$\frac{4S_1 S_2}{S^2} = 1$

$S^2 = 4S_1 S_2$

Так как площадь S является положительной величиной, извлекаем квадратный корень:

$S = \sqrt{4S_1 S_2} = 2\sqrt{S_1 S_2}$

Ответ: $2\sqrt{S_1 S_2}$