Номер 847, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 847, страница 214.

Условие.

847. На рисунке 269 изображён правильный пятиугольник ABCDE, т. е. выпуклый пятиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Докажите, что:

a) $\triangle AED \sim \triangle AFE$;

б) $\frac{DA}{DF} = \frac{DF}{AF}$.

Рис. 269

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

a) Поскольку $ABCDE$ — правильный пятиугольник, все его стороны и все его внутренние углы равны. Величина внутреннего угла правильного пятиугольника равна: $∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ΔAED$. Так как стороны пятиугольника равны, то $AE = ED$. Следовательно, $ΔAED$ — равнобедренный. Углы при его основании равны: $∠EAD = ∠EDA = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$.

Аналогично рассмотрим треугольник $ΔABE$. Он также является равнобедренным, так как $AB = AE$. Углы при его основании равны: $∠ABE = ∠AEB = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ$.

Теперь сравним треугольники $ΔAED$ и $ΔAFE$. Для доказательства их подобия достаточно найти два равных угла.

1. Угол при вершине $A$ у этих треугольников общий, а точнее, угол $∠FAE$ является тем же углом, что и $∠EAD$. Мы уже нашли, что $∠EAD = 36^\circ$. Таким образом, $∠FAE = 36^\circ$.

2. Угол $∠AEF$ является тем же углом, что и $∠AEB$, который мы нашли из треугольника $ΔABE$. Таким образом, $∠AEF = 36^\circ$.

Найдем третий угол треугольника $ΔAFE$: $∠AFE = 180^\circ - (∠FAE + ∠AEF) = 180^\circ - (36^\circ + 36^\circ) = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

Теперь сравним углы треугольников $ΔAED$ и $ΔAFE$:

• $∠EAD = 36^\circ$ и $∠FAE = 36^\circ$. Следовательно, $∠EAD = ∠FAE$.
• $∠AED = 108^\circ$ и $∠AFE = 108^\circ$. Следовательно, $∠AED = ∠AFE$.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Таким образом, $ΔAED \sim ΔAFE$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Из подобия треугольников $ΔAED$ и $ΔAFE$, доказанного в пункте а), следует пропорциональность их соответственных сторон: $\frac{DA}{AE} = \frac{AE}{AF} = \frac{ED}{FE}$

Из этой пропорции возьмем первую часть: $\frac{DA}{AE} = \frac{AE}{AF}$ Отсюда следует, что $AE^2 = DA \cdot AF$.

Теперь докажем, что $DF = AE$. Для этого рассмотрим треугольник $ΔDFE$. Найдем его углы.

1. Угол $∠FDE$ — это тот же угол, что и $∠ADE$. Из пункта а) мы знаем, что $∠ADE = ∠EDA = 36^\circ$.

2. Угол $∠FED$ является частью угла $∠AED$. Мы можем найти его как разность: $∠FED = ∠AED - ∠AEB = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ$.

3. Третий угол треугольника $∠DFE$ равен (как вертикальный углу $∠AFB$ или из суммы углов треугольника $ΔDFE$): $∠DFE = 180^\circ - (∠FDE + ∠FED) = 180^\circ - (36^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

Поскольку в треугольнике $ΔDFE$ два угла равны ($∠FED = ∠DFE = 72^\circ$), он является равнобедренным, и стороны, лежащие против этих углов, равны: $DF = DE$.

Так как $ABCDE$ — правильный пятиугольник, все его стороны равны, в частности $DE = AE$. Таким образом, мы получаем, что $DF = DE = AE$, то есть $DF = AE$.

Теперь подставим $DF$ вместо $AE$ в полученное ранее равенство $\frac{DA}{AE} = \frac{AE}{AF}$: $\frac{DA}{DF} = \frac{DF}{AF}$

Ответ: Что и требовалось доказать.