Номер 848, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 848, страница 214.

Условие.

848 В треугольнике $ABC$ $(AB \neq AC)$ через середину $M$ стороны $BC$ проведена прямая, параллельная биссектрисе угла $A$, которая пересекает прямые $AB$ и $AC$ соответственно в точках $D$ и $E$. Докажите, что $BD=CE$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть AL — биссектриса угла A в треугольнике ABC. По условию задачи, через середину M стороны BC проведена прямая, пересекающая прямые AB и AC в точках D и E соответственно, и эта прямая параллельна биссектрисе AL. Обозначим эту прямую как DE.

1. Докажем, что треугольник ADE является равнобедренным.

Рассмотрим параллельные прямые AL и DE. Прямая AB является для них секущей. Углы $∠ADE$ и $∠BAL$ являются соответственными углами при параллельных прямых AL и DE и секущей AB. Следовательно, они равны:

$∠ADE = ∠BAL$

Аналогично, прямая AC является секущей для тех же параллельных прямых. Углы $∠AED$ и $∠CAL$ также являются соответственными. Следовательно, они равны:

$∠AED = ∠CAL$

Поскольку AL — биссектриса угла A, по определению она делит угол пополам:

$∠BAL = ∠CAL$

Из трех приведенных выше равенств следует, что:

$∠ADE = ∠AED$

Так как в треугольнике ADE два угла равны, он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны:

$AD = AE$

2. Выполним дополнительное построение и докажем равенство треугольников.

Проведем через вершину C прямую, параллельную прямой AB, и пусть она пересечет прямую DE в точке F. Таким образом, по построению $CF || AB$.

Рассмотрим треугольники $ΔBDM$ и $ΔCFM$:

• $BM = CM$, так как M — середина стороны BC по условию.
• $∠DMB = ∠FMC$, так как они являются вертикальными углами.
• $∠MBD = ∠MCF$, так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых AB и CF и секущей BC. (Угол $∠MBD$ является частью угла $∠ABC$).

Следовательно, $ΔBDM ≅ ΔCFM$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, ASA). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон:

$BD = CF$

3. Докажем, что $CF = CE$.

Для этого докажем, что треугольник CFE является равнобедренным. Рассмотрим его углы при основании FE.

Угол $∠CEF$ — это тот же угол, что и $∠AED$.

Угол $∠CFE$ и угол $∠ADE$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых AB и CF и секущей DE. Следовательно, они равны:

$∠CFE = ∠ADE$

В шаге 1 мы установили, что $∠ADE = ∠AED$.

Таким образом, мы можем составить цепочку равенств:

$∠CFE = ∠ADE = ∠AED = ∠CEF$

Отсюда следует, что $∠CFE = ∠CEF$. Так как в треугольнике CFE углы при основании равны, он является равнобедренным, и боковые стороны равны:

$CF = CE$

4. Итоговое заключение.

Из шага 2 мы получили равенство $BD = CF$.

Из шага 3 мы получили равенство $CF = CE$.

Объединяя эти два результата, получаем требуемое равенство:

$BD = CE$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.