Номер 855, страница 215 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 855, страница 215.

Условие.

855. Из вершины прямого угла C прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр CD к гипотенузе, а из точки D — перпендикуляры DE и DF к катетам AC и BC. Докажите, что:

а) $CD^3 = AB \cdot AE \cdot BF;$

б) $AE^2 + BF^2 + 3CD^2 = AB^2;$

в) $\sqrt[3]{AE^2} + \sqrt[3]{BF^2} = \sqrt[3]{AB^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

а) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. $CD$ — высота, проведённая к гипотенузе $AB$. $DE \perp AC$ и $DF \perp BC$.

Поскольку в четырёхугольнике $ECFD$ углы $\angle ECF$, $\angle CEF$ и $\angle CFD$ прямые, то $ECFD$ является прямоугольником. Следовательно, $DE = CF$ и $DF = CE$.

Рассмотрим подобные треугольники. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит его на два треугольника, подобных исходному и друг другу. Отсюда $\triangle ADC \sim \triangle CDB \sim \triangle ACB$.

Определим углы. Пусть $\angle CAB = \alpha$, тогда $\angle CBA = 90^\circ - \alpha$. Из подобия $\triangle ADC \sim \triangle ACB$ следует, что $\angle ACD = \angle CBA = 90^\circ - \alpha$. Из подобия $\triangle CDB \sim \triangle ACB$ следует, что $\angle BCD = \angle CAB = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADE$ ($\angle AED = 90^\circ$). В нём $\angle DAE = \alpha$, следовательно, $\angle ADE = 90^\circ - \alpha$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDF$ ($\angle BFD = 90^\circ$). В нём $\angle DBF = 90^\circ - \alpha$, следовательно, $\angle BDF = \alpha$.

Теперь мы можем установить подобие малых треугольников: $\triangle ADE$ (углы $\alpha, 90^\circ, 90^\circ-\alpha$) и $\triangle CDB$ (углы $\alpha, 90^\circ, 90^\circ-\alpha$). Итак, $\triangle ADE \sim \triangle CDB$. Из подобия следует отношение сторон: $\frac{AE}{CD} = \frac{AD}{CB}$ Отсюда $AE = \frac{AD \cdot CD}{CB}$.

Аналогично, $\triangle BDF$ (углы $90^\circ-\alpha, 90^\circ, \alpha$) и $\triangle ADC$ (углы $\alpha, 90^\circ, 90^\circ-\alpha$). Итак, $\triangle BDF \sim \triangle ADC$. Из подобия следует отношение сторон: $\frac{BF}{AD} = \frac{BD}{AC}$ Отсюда $BF = \frac{AD \cdot BD}{AC}$.

Перемножим выражения для $AE$ и $BF$: $AE \cdot BF = \frac{AD \cdot CD}{CB} \cdot \frac{AD \cdot BD}{AC}$ Это неверно, давайте пересмотрим подобие $\triangle BDF \sim \triangle ADC$. Углы $\triangle BDF$: $\angle B = 90^\circ-\alpha$, $\angle F = 90^\circ$, $\angle D = \alpha$. Углы $\triangle ADC$: $\angle A = \alpha$, $\angle D = 90^\circ$, $\angle C = 90^\circ-\alpha$. Следовательно, $\triangle BDF \sim \triangle CAD$. $\frac{BF}{CD} = \frac{BD}{AC}$. Отсюда $BF = \frac{BD \cdot CD}{AC}$.

Теперь перемножим правильные выражения для $AE$ и $BF$: $AE \cdot BF = \left(\frac{AD \cdot CD}{CB}\right) \cdot \left(\frac{BD \cdot CD}{AC}\right) = \frac{(AD \cdot BD) \cdot CD^2}{AC \cdot BC}$.

Известно, что в прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведённой к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу: $CD^2 = AD \cdot BD$. Также площадь треугольника $ABC$ можно выразить двумя способами: $S = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}AB \cdot CD$, откуда $AC \cdot BC = AB \cdot CD$.

Подставим эти соотношения в выражение для $AE \cdot BF$: $AE \cdot BF = \frac{CD^2 \cdot CD^2}{AB \cdot CD} = \frac{CD^4}{AB \cdot CD} = \frac{CD^3}{AB}$.

Из последнего равенства получаем: $AB \cdot AE \cdot BF = CD^3$, что и требовалось доказать.

Ответ:

б) Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольных треугольников $ADE$ и $BDF$: $AD^2 = AE^2 + DE^2 \Rightarrow AE^2 = AD^2 - DE^2$. $BD^2 = BF^2 + DF^2 \Rightarrow BF^2 = BD^2 - DF^2$.

Сложим эти два равенства: $AE^2 + BF^2 = (AD^2 - DE^2) + (BD^2 - DF^2) = (AD^2 + BD^2) - (DE^2 + DF^2)$.

Как было установлено в пункте а), четырёхугольник $ECFD$ — прямоугольник. В прямоугольнике диагонали равны. Диагональ $CD$ соединяет вершины $C$ и $D$. В прямоугольном треугольнике $DEC$ (с прямым углом $E$) по теореме Пифагора: $CD^2 = DE^2 + CE^2$. Так как $CE=DF$ (противоположные стороны прямоугольника), то $CD^2 = DE^2 + DF^2$.

Подставим это в наше выражение: $AE^2 + BF^2 = (AD^2 + BD^2) - CD^2$.

Теперь рассмотрим сумму $AD^2 + BD^2$. Точка $D$ лежит на гипотенузе $AB$, поэтому $AB = AD + DB$. Возведём в квадрат: $AB^2 = (AD + DB)^2 = AD^2 + DB^2 + 2 \cdot AD \cdot DB$. Отсюда $AD^2 + DB^2 = AB^2 - 2 \cdot AD \cdot DB$.

Мы знаем, что $CD^2 = AD \cdot DB$. Подставим это в предыдущее выражение: $AD^2 + DB^2 = AB^2 - 2CD^2$.

Теперь подставим это в выражение для $AE^2 + BF^2$: $AE^2 + BF^2 = (AB^2 - 2CD^2) - CD^2 = AB^2 - 3CD^2$.

Перенесём $3CD^2$ в левую часть равенства: $AE^2 + BF^2 + 3CD^2 = AB^2$, что и требовалось доказать.

Ответ:

в) Обозначим длины катетов $AC = b$, $BC = a$ и гипотенузы $AB = c$. По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$.

Из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике (или из подобия $\triangle ADC \sim \triangle ACB$ и $\triangle CDB \sim \triangle ACB$) имеем: $AC^2 = AD \cdot AB \Rightarrow b^2 = AD \cdot c \Rightarrow AD = \frac{b^2}{c}$. $BC^2 = BD \cdot AB \Rightarrow a^2 = BD \cdot c \Rightarrow BD = \frac{a^2}{c}$.

Рассмотрим $\triangle ADE$. Как показано в пункте а), $\angle DAE = \angle CAB$ и $\angle AED=90^\circ$. Треугольник $\triangle ADE$ подобен $\triangle ACB$, так как $\angle DAE = \angle CAB$ и $\angle AED = \angle ACB = 90^\circ$. Из подобия $\triangle ADE \sim \triangle ACB$ следует: $\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB}$. $AE = AC \cdot \frac{AD}{AB} = b \cdot \frac{b^2/c}{c} = \frac{b^3}{c^2}$.

Рассмотрим $\triangle BDF$. Аналогично, он подобен $\triangle BCA$, так как $\angle DBF = \angle CBA$ и $\angle BFD = \angle BCA = 90^\circ$. Из подобия $\triangle BDF \sim \triangle BCA$ следует: $\frac{BF}{BC} = \frac{BD}{BA}$. $BF = BC \cdot \frac{BD}{BA} = a \cdot \frac{a^2/c}{c} = \frac{a^3}{c^2}$.

Теперь подставим найденные выражения для $AE$ и $BF$ в доказываемое тождество $\sqrt[3]{AE^2} + \sqrt[3]{BF^2} = \sqrt[3]{AB^2}$: Левая часть: $L = \sqrt[3]{\left(\frac{b^3}{c^2}\right)^2} + \sqrt[3]{\left(\frac{a^3}{c^2}\right)^2} = \sqrt[3]{\frac{b^6}{c^4}} + \sqrt[3]{\frac{a^6}{c^4}}$ $L = \frac{(b^6)^{1/3}}{(c^4)^{1/3}} + \frac{(a^6)^{1/3}}{(c^4)^{1/3}} = \frac{b^2}{c^{4/3}} + \frac{a^2}{c^{4/3}} = \frac{a^2+b^2}{c^{4/3}}$.

Поскольку $a^2+b^2=c^2$, получаем: $L = \frac{c^2}{c^{4/3}} = c^{2 - 4/3} = c^{2/3}$.

Правая часть: $P = \sqrt[3]{AB^2} = \sqrt[3]{c^2} = c^{2/3}$.

Так как левая и правая части равны ($L=P$), тождество доказано.

Ответ: