Номер 859, страница 215 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 859, страница 215.

Условие.

859 Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна половине его периметра, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть $ABCD$ — выпуклый четырехугольник. Обозначим через $M, N, P, Q$ середины его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно.

По условию задачи, сумма расстояний между серединами противоположных сторон равна половине периметра четырехугольника:$MP + NQ = \frac{1}{2}(AB + BC + CD + DA)$

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ — радиус-векторы вершин $A, B, C, D$ соответственно. Тогда радиус-векторы середин сторон будут равны:$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$, $\vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$, $\vec{p} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$, $\vec{q} = \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2}$.

Выразим векторы, соединяющие середины противоположных сторон, через векторы сторон четырехугольника. Вектор $\vec{MP}$ равен:$\vec{MP} = \vec{p} - \vec{m} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{1}{2}((\vec{d} - \vec{a}) + (\vec{c} - \vec{b})) = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$.

Аналогично для вектора $\vec{NQ}$:$\vec{NQ} = \vec{q} - \vec{n} = \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2} - \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} = \frac{1}{2}((\vec{a} - \vec{b}) + (\vec{d} - \vec{c})) = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{DC})$.

Найдем длины этих векторов. Используя неравенство треугольника для векторов ($|\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|$), получим:$MP = |\vec{MP}| = \frac{1}{2}|\vec{AD} + \vec{BC}| \le \frac{1}{2}(|\vec{AD}| + |\vec{BC}|) = \frac{1}{2}(AD + BC)$.

И для второй пары:$NQ = |\vec{NQ}| = \frac{1}{2}|\vec{BA} + \vec{DC}| \le \frac{1}{2}(|\vec{BA}| + |\vec{DC}|) = \frac{1}{2}(AB + CD)$.

Сложим полученные неравенства:$MP + NQ \le \frac{1}{2}(AD + BC) + \frac{1}{2}(AB + CD)$$MP + NQ \le \frac{1}{2}(AB + BC + CD + DA)$.

По условию задачи в этом неравенстве достигается знак равенства. Это возможно только в том случае, когда знак равенства достигается в каждом из двух исходных неравенств:1) $MP = \frac{1}{2}(AD + BC)$2) $NQ = \frac{1}{2}(AB + CD)$

Равенство в неравенстве треугольника $|\vec{x} + \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|$ достигается тогда и только тогда, когда векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ коллинеарны и сонаправлены (указывают в одном направлении).

Из равенства (1) следует, что $|\vec{AD} + \vec{BC}| = |\vec{AD}| + |\vec{BC}|$. Следовательно, векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены. Это означает, что стороны $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$).

Из равенства (2) следует, что $|\vec{BA} + \vec{DC}| = |\vec{BA}| + |\vec{DC}|$. Следовательно, векторы $\vec{BA}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены. Это означает, что стороны $BA$ (или $AB$) и $DC$ (или $CD$) параллельны ($AB \parallel CD$).

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом по определению. Таким образом, $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник, удовлетворяющий данному условию, является параллелограммом.