Номер 862, страница 215 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 862, страница 215.

Условие.

862 Из вершины $A$ треугольника $ABC$ проведены перпендикуляры $AM$ и $AK$ к биссектрисам внешних углов этого треугольника при вершинах $B$ и $C$. Докажите, что отрезок $MK$ равен половине периметра треугольника $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Обозначим биссектрису внешнего угла при вершине $B$ как $l_B$, а биссектрису внешнего угла при вершине $C$ как $l_C$. По условию, $AM \perp l_B$ и $AK \perp l_C$, где точки $M$ и $K$ лежат на этих биссектрисах.

1. Рассмотрим перпендикуляр $AM$ к биссектрисе $l_B$.

Продлим отрезок $AM$ до пересечения с прямой, содержащей сторону $BC$, в точке $P$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABP$.

Пусть $D$ — точка на продолжении стороны $AB$ за вершину $B$. Тогда внешний угол при вершине $B$ — это $\angle DBC$. Биссектриса $l_B$ делит этот угол пополам.

Угол $\angle ABP$ и угол $\angle DBC$ являются вертикальными, следовательно, $\angle ABP = \angle DBC$.

Поскольку $l_B$ является биссектрисой угла $\angle DBC$, она также является биссектрисой угла $\angle ABP$. Отрезок $BM$ лежит на биссектрисе $l_B$, значит, $BM$ — биссектриса угла $\angle ABP$ в треугольнике $\triangle ABP$.

По условию $AM \perp l_B$, значит $BM \perp AP$. Таким образом, в треугольнике $\triangle ABP$ отрезок $BM$ является одновременно высотой и биссектрисой. Это свойство равнобедренного треугольника. Следовательно, треугольник $\triangle ABP$ является равнобедренным с основанием $AP$, и $AB = BP$.

Так как $BM$ — высота и биссектриса в равнобедренном треугольнике $\triangle ABP$, она также является и медианой. Значит, точка $M$ — середина отрезка $AP$.

2. Рассмотрим перпендикуляр $AK$ к биссектрисе $l_C$.

Аналогично, продлим отрезок $AK$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $Q$. Рассмотрим треугольник $\triangle ACQ$.

Пусть $E$ — точка на продолжении стороны $AC$ за вершину $C$. Внешний угол при вершине $C$ — это $\angle BCE$. Биссектриса $l_C$ делит его пополам.

Угол $\angle ACQ$ и угол $\angle BCE$ являются вертикальными, поэтому $\angle ACQ = \angle BCE$.

Следовательно, $l_C$ (и содержащийся в ней отрезок $CK$) является биссектрисой угла $\angle ACQ$ в треугольнике $\triangle ACQ$.

По условию $AK \perp l_C$, значит $CK \perp AQ$. Таким образом, в треугольнике $\triangle ACQ$ отрезок $CK$ является одновременно высотой и биссектрисой. Следовательно, треугольник $\triangle ACQ$ является равнобедренным с основанием $AQ$, и $AC = CQ$.

Так как $CK$ — высота и биссектриса, она также является медианой. Значит, точка $K$ — середина отрезка $AQ$.

3. Найдем длину отрезка $MK$.

Рассмотрим треугольник $\triangle APQ$. Мы установили, что точка $M$ является серединой стороны $AP$, а точка $K$ — серединой стороны $AQ$.

Следовательно, отрезок $MK$ является средней линией треугольника $\triangle APQ$. По свойству средней линии, ее длина равна половине длины третьей стороны, то есть: $MK = \frac{1}{2} PQ$.

4. Вычислим длину отрезка $PQ$.

Точки $P$, $B$, $C$, $Q$ лежат на одной прямой. Из построения следует, что точка $P$ лежит на продолжении отрезка $CB$ за точку $B$, а точка $Q$ — на продолжении отрезка $BC$ за точку $C$. Таким образом, точки на прямой расположены в порядке $P - B - C - Q$.

Длина отрезка $PQ$ равна сумме длин составляющих его отрезков: $PQ = PB + BC + CQ$.

Из пунктов 1 и 2 мы знаем, что $PB = AB$ и $CQ = AC$. Подставим эти значения в выражение для $PQ$: $PQ = AB + BC + AC$.

Это выражение представляет собой периметр треугольника $ABC$.

5. Заключение.

Подставим найденную длину $PQ$ в формулу для $MK$: $MK = \frac{1}{2} (AB + BC + AC)$.

Таким образом, доказано, что отрезок $MK$ равен половине периметра треугольника $ABC$.

Ответ: Доказано, что отрезок $MK$ равен половине периметра треугольника $ABC$. Продлив перпендикуляры $AM$ и $AK$ до пересечения с прямой $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно, мы получаем равнобедренные треугольники $\triangle ABP$ (где $AB=BP$) и $\triangle ACQ$ (где $AC=CQ$). Точки $M$ и $K$ оказываются серединами сторон $AP$ и $AQ$ треугольника $\triangle APQ$. Таким образом, $MK$ является средней линией $\triangle APQ$, и $MK = \frac{1}{2} PQ$. Длина отрезка $PQ = PB + BC + CQ = AB + BC + AC$, что является периметром $\triangle ABC$. Следовательно, $MK = \frac{1}{2} (AB + BC + AC)$.