Номер 869, страница 216 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 869, страница 216.

Условие.

869 Постройте точку, принадлежащую большему основанию равнобедренной трапеции и отстоящую от данной боковой стороны в $n$ раз дальше, чем от другой ($n=2, 3, 4$).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с большим основанием AD и боковыми сторонами AB и CD. Необходимо построить точку P на основании AD, которая отстоит от одной боковой стороны в $n$ раз дальше, чем от другой (где $n=2, 3, 4$).

В условии задачи сказано "от данной боковой стороны". Пусть, для определенности, данной стороной является CD. Тогда искомая точка P должна удовлетворять условию: расстояние от P до прямой CD в $n$ раз больше расстояния от P до прямой AB.

Анализ

Обозначим через $d(P, AB)$ расстояние от точки P до прямой, содержащей сторону AB, и через $d(P, CD)$ расстояние от точки P до прямой, содержащей сторону CD. По условию, $d(P, CD) = n \cdot d(P, AB)$.

Поскольку трапеция ABCD равнобедренная, углы при основании AD равны. Пусть $\angle DAB = \angle CDA = \alpha$.

Рассмотрим точку P на отрезке AD. Расстояние от точки P до прямой AB можно найти из прямоугольного треугольника, образованного перпендикуляром, опущенным из P на AB. Это расстояние равно $d(P, AB) = AP \cdot \sin(\alpha)$.

Аналогично, расстояние от точки P до прямой CD равно $d(P, CD) = PD \cdot \sin(\alpha)$.

Подставим эти выражения в исходное условие:
$PD \cdot \sin(\alpha) = n \cdot (AP \cdot \sin(\alpha))$

Так как трапеция не является отрезком, угол $\alpha$ не равен $0^\circ$ или $180^\circ$, поэтому $\sin(\alpha) \neq 0$. Мы можем сократить на $\sin(\alpha)$:
$PD = n \cdot AP$

Это означает, что точка P делит основание AD в отношении $AP : PD = 1 : n$. Таким образом, задача сводится к построению точки, делящей отрезок AD в заданном отношении.

Построение

Для построения точки P, делящей отрезок AD в отношении $1:n$, выполним следующие шаги:

1. Проведем из точки A произвольный луч $l$, не лежащий на прямой AD.
2. С помощью циркуля отложим на луче $l$ от точки A последовательно $n+1$ равных отрезков. Обозначим концы этих отрезков как $A_1, A_2, \dots, A_{n+1}$. Таким образом, $AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_nA_{n+1}$.
3. Соединим точку $A_{n+1}$ с точкой D отрезком прямой.
4. Через точку $A_1$ проведем прямую, параллельную отрезку $A_{n+1}D$.
5. Точка пересечения этой прямой с основанием AD и будет искомой точкой P.

Доказательство

Рассмотрим угол $DAA_{n+1}$. Прямые $PA_1$ и $DA_{n+1}$ параллельны по построению. Согласно обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.
Следовательно, $\frac{AP}{PD} = \frac{AA_1}{A_1A_{n+1}}$.

По построению, отрезок $AA_1$ является одной единицей длины, а отрезок $A_1A_{n+1}$ состоит из $n$ таких же единичных отрезков. Значит, $\frac{AA_1}{A_1A_{n+1}} = \frac{1}{n}$.
Отсюда следует, что $\frac{AP}{PD} = \frac{1}{n}$, или $PD = n \cdot AP$.

Таким образом, построенная точка P удовлетворяет условию задачи.

Примечание: Если бы "данной" стороной была сторона AB, то условие было бы $d(P, AB) = n \cdot d(P, CD)$, что привело бы к соотношению $AP = n \cdot PD$, или $AP : PD = n : 1$. В этом случае при построении параллельную прямую следовало бы проводить через точку $A_n$, а не $A_1$.

Ответ: Искомая точка P делит большее основание AD в отношении $1:n$ или $n:1$, в зависимости от того, какая боковая сторона выбрана как "данная". Если данной является сторона CD, то отношение $AP:PD = 1:n$. Построение точки, делящей отрезок в заданном отношении, производится с помощью теоремы Фалеса, как описано в разделе "Построение".