Номер 874, страница 216 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 874, страница 216.

Условие.

874 Постройте треугольник по трём высотам.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 10.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ имеет стороны $a, b, c$ и соответствующие им высоты $h_a, h_b, h_c$. Площадь треугольника $S$ может быть выражена тремя способами: $S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$.
Из этого равенства следует, что $a h_a = b h_b = c h_c$. Это означает, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам: $a : b : c = \frac{1}{h_a} : \frac{1}{h_b} : \frac{1}{h_c}$.
Задача сводится к построению треугольника, стороны которого удовлетворяют этому отношению. Метод решения состоит из двух этапов: сначала построить вспомогательный треугольник $A_1B_1C_1$, подобный искомому, а затем масштабировать его до нужных размеров.
Для построения сторон вспомогательного треугольника $a_1, b_1, c_1$ выберем удобный коэффициент пропорциональности. Умножим все члены отношения $ \frac{1}{h_a} : \frac{1}{h_b} : \frac{1}{h_c}$ на величину $h_a h_b$. Получим: $a_1 : b_1 : c_1 = h_b : h_a : \frac{h_a h_b}{h_c}$.
Таким образом, мы можем построить вспомогательный треугольник со сторонами $a_1 = h_b$, $b_1 = h_a$ и $c_1 = \frac{h_a h_b}{h_c}$.

Построение

Пусть даны три отрезка $h_a, h_b, h_c$.
1. Построение отрезка $c_1 = \frac{h_a h_b}{h_c}$ (четвертого пропорционального).
Начертим произвольный угол с вершиной $O$. На одном луче угла отложим отрезки $OD = h_c$ и $OE = h_a$. На другом луче отложим отрезок $OF = h_b$. Проведем отрезок $DF$. Через точку $E$ проведем прямую, параллельную $DF$. Пусть она пересечет второй луч в точке $G$. Из подобия треугольников $ODF$ и $OEG$ следует, что $\frac{OD}{OE} = \frac{OF}{OG}$, или $\frac{h_c}{h_a} = \frac{h_b}{OG}$. Отсюда $OG = \frac{h_a h_b}{h_c}$. Отрезок $OG$ имеет искомую длину $c_1$.
2. Построение вспомогательного треугольника $A_1B_1C_1$.
Построим треугольник по трем сторонам: $B_1C_1 = a_1 = h_b$, $A_1C_1 = b_1 = h_a$, $A_1B_1 = c_1 = OG$. Для этого начертим отрезок $A_1B_1$ длиной $c_1$. Построим две дуги окружностей: одну с центром в $A_1$ и радиусом $b_1 = h_a$, другую с центром в $B_1$ и радиусом $a_1 = h_b$. Точка их пересечения $C_1$ будет третьей вершиной треугольника. Треугольник $A_1B_1C_1$ построен. Он подобен искомому треугольнику $ABC$.
3. Построение искомого треугольника $ABC$.
В треугольнике $A_1B_1C_1$ построим высоту $A_1H_1$, опущенную из вершины $A_1$ на сторону $B_1C_1$. Начертим произвольную прямую $l$ и на ней выберем точку $H$. В точке $H$ восстановим перпендикуляр к прямой $l$. На этом перпендикуляре отложим отрезок $HA$, равный заданной высоте $h_a$. Точка $A$ - вершина искомого треугольника. Из точки $A$ в одну сторону от луча $AH$ отложим угол, равный углу $\angle H_1A_1B_1$. Луч, образующий этот угол, пересечет прямую $l$ в точке $B$. Из точки $A$ в другую сторону от луча $AH$ отложим угол, равный углу $\angle H_1A_1C_1$. Луч, образующий этот угол, пересечет прямую $l$ в точке $C$. Соединив точки $A, B, C$, получим искомый треугольник $ABC$.

Доказательство

По построению, высота треугольника $ABC$ из вершины $A$ на сторону $BC$ равна $AH = h_a$. Также по построению (по равенству углов) прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ подобны соответственно треугольникам $\triangle A_1H_1B_1$ и $\triangle A_1H_1C_1$. Отсюда следует, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Коэффициент подобия $k = \frac{AH}{A_1H_1} = \frac{h_a}{h_{a1}}$. Высоты подобных треугольников относятся так же, как и их стороны. Поэтому высоты треугольника $ABC$ равны $h_a$, $h_b' = k h_{b1}$ и $h_c' = k h_{c1}$, где $h_{b1}$ и $h_{c1}$ - высоты $\triangle A_1B_1C_1$.
Проверим, равны ли $h_b'$ и $h_c'$ заданным в условии $h_b$ и $h_c$.
Из формулы площади для $\triangle A_1B_1C_1$ имеем $a_1 h_{a1} = b_1 h_{b1}$. Учитывая, что $a_1 = h_b$ и $b_1 = h_a$ (по построению), получаем $h_b \cdot h_{a1} = h_a \cdot h_{b1}$, откуда $h_{b1} = h_{a1} \frac{h_b}{h_a}$. Тогда высота искомого треугольника: $h_b' = k \cdot h_{b1} = \frac{h_a}{h_{a1}} \cdot \left(h_{a1} \frac{h_b}{h_a}\right) = h_b$.
Аналогично, из $a_1 h_{a1} = c_1 h_{c1}$ и $a_1=h_b, c_1=\frac{h_a h_b}{h_c}$ следует, что высота $h_c'$ построенного треугольника будет равна $h_c$. Построение верно.

Исследование

Задача имеет решение, если можно построить вспомогательный треугольник $A_1B_1C_1$ со сторонами $h_b, h_a, \frac{h_a h_b}{h_c}$. Для этого необходимо выполнение неравенства треугольника для этих трех отрезков. Например, должно выполняться $h_a + h_b > \frac{h_a h_b}{h_c}$. Разделив обе части на положительное число $h_a h_b$, получим эквивалентное неравенство: $\frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_a} > \frac{1}{h_c}$. Если это и два аналогичных неравенства ($\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_c} > \frac{1}{h_b}$ и $\frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c} > \frac{1}{h_a}$) выполняются, то задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности). В противном случае задача решения не имеет.

Ответ: Треугольник с заданными высотами строится в соответствии с приведенным выше планом. Построение возможно и единственно, если для данных высот $h_a, h_b, h_c$ выполняется неравенство треугольника для величин, им обратных: $\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}>\frac{1}{h_c}$, $\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_c}>\frac{1}{h_b}$ и $\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}>\frac{1}{h_a}$.