Номер 877, страница 217 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 877, страница 217.

Условие.

877 Две окружности имеют единственную общую точку $M$. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках $A$ и $A_1$, а другую — в точках $B$ и $B_1$. Докажите, что $AA_1 \parallel BB_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть даны две окружности, назовем их $\omega_1$ и $\omega_2$, которые имеют единственную общую точку $M$, то есть касаются в точке $M$. Через точку $M$ проведены две секущие. Первая секущая пересекает $\omega_1$ в точке $A$ и $\omega_2$ в точке $B$. Вторая секущая пересекает $\omega_1$ в точке $A_1$ и $\omega_2$ в точке $B_1$. Таким образом, точки $A, M, B$ лежат на одной прямой, и точки $A_1, M, B_1$ лежат на другой прямой. Требуется доказать, что хорда $AA_1$ в первой окружности параллельна хорде $BB_1$ во второй окружности, то есть $AA_1 \parallel BB_1$.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся преобразованием гомотетии.

Доказательство:

1. Две окружности, касающиеся в одной точке $M$, являются гомотетичными с центром гомотетии в этой точке $M$. Это означает, что существует преобразование гомотетии $H$ с центром в точке $M$, которое переводит окружность $\omega_1$ в окружность $\omega_2$. Коэффициент гомотетии $k$ будет положительным при внешнем касании окружностей и отрицательным при внутреннем.

2. Согласно определению гомотетии, для любой точки $X$, принадлежащей окружности $\omega_1$, ее образ $Y = H(X)$ будет лежать на окружности $\omega_2$, причем точки $M, X, Y$ будут лежать на одной прямой.

3. Рассмотрим первую секущую, проходящую через точки $A, M, B$. По условию, точка $A$ лежит на окружности $\omega_1$, а точка $B$ — на окружности $\omega_2$. Так как $A, M, B$ лежат на одной прямой, точка $B$ является образом точки $A$ при гомотетии $H$: $B = H(A)$.

4. Аналогично, для второй секущей, проходящей через точки $A_1, M, B_1$, точка $A_1$ лежит на $\omega_1$, а $B_1$ — на $\omega_2$. Следовательно, $B_1$ является образом точки $A_1$ при той же гомотетии $H$: $B_1 = H(A_1)$.

5. Рассмотрим отрезок $AA_1$, который является хордой окружности $\omega_1$. При гомотетии $H$ его концы $A$ и $A_1$ переходят в точки $B$ и $B_1$ соответственно. Это означает, что образом отрезка $AA_1$ является отрезок $BB_1$.

6. Одним из ключевых свойств гомотетии является то, что она преобразует любой отрезок в параллельный ему отрезок. Следовательно, отрезок $AA_1$ параллелен своему образу — отрезку $BB_1$.

Таким образом, мы доказали, что $AA_1 \parallel BB_1$. Данное доказательство справедливо как для случая внешнего, так и для случая внутреннего касания окружностей.

Ответ: Утверждение, что $AA_1 \parallel BB_1$, доказано.