Номер 879, страница 217 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 879, страница 217.

Условие.

879 Точки $B_1$ и $C_1$ — середины дуг $AB$ и $AC$ (рис. 271). Докажите, что $AM = AN$.

Рис. 271

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Для доказательства равенства $AM = AN$ рассмотрим треугольник $AMN$. Если мы докажем, что этот треугольник равнобедренный с основанием $MN$, то из этого будет следовать равенство боковых сторон $AM$ и $AN$. Чтобы доказать, что треугольник $AMN$ равнобедренный, нужно показать, что углы при его основании равны, то есть $\angle AMN = \angle ANM$.

1. Рассмотрим угол $\angle AMN$. Он является одним из углов, образованных при пересечении хорд $AB$ и $B_1C_1$ в точке $M$. Угол $\angle AMN$ и угол $\angle AMC_1$ являются одним и тем же углом, так как точки $M, N, C_1$ лежат на одной прямой. По теореме об угле между двумя пересекающимися хордами, его величина равна половине суммы градусных мер дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла $\angle BMB_1$. Эти дуги — это дуга $AC_1$ и дуга $B_1B$.
Следовательно, $\angle AMN = \frac{1}{2}(\cup AC_1 + \cup B_1B)$.

2. Рассмотрим угол $\angle ANM$. Он является одним из углов, образованных при пересечении хорд $AC$ и $B_1C_1$ в точке $N$. Угол $\angle ANM$ и угол $\angle ANB_1$ являются одним и тем же углом, так как точки $B_1, M, N$ лежат на одной прямой. По той же теореме, его величина равна половине суммы градусных мер дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла $\angle CNC_1$. Эти дуги — это дуга $AB_1$ и дуга $C_1C$.
Следовательно, $\angle ANM = \frac{1}{2}(\cup AB_1 + \cup C_1C)$.

3. По условию задачи, точка $B_1$ является серединой дуги $AB$, а точка $C_1$ — серединой дуги $AC$. Это означает, что градусные меры соответствующих дуг равны:
$\cup AB_1 = \cup B_1B$
$\cup AC_1 = \cup C_1C$

4. Подставим эти равенства в выражение для угла $\angle ANM$:
$\angle ANM = \frac{1}{2}(\cup AB_1 + \cup C_1C) = \frac{1}{2}(\cup B_1B + \cup AC_1)$.

5. Теперь сравним полученные выражения для углов $\angle AMN$ и $\angle ANM$:
$\angle AMN = \frac{1}{2}(\cup AC_1 + \cup B_1B)$
$\angle ANM = \frac{1}{2}(\cup B_1B + \cup AC_1)$
Очевидно, что правые части этих равенств равны, а значит, равны и левые части: $\angle AMN = \angle ANM$.

Так как в треугольнике $AMN$ углы при основании $MN$ равны, то треугольник $AMN$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $AM = AN$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AM = AN$ доказано.