Номер 884, страница 217 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 884, страница 217.

Условие.

884. Внутри угла $ABC$ равностороннего треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $ \angle BMC = 30^{\circ} $, $ \angle BMA = 17^{\circ} $. Найдите углы $BAM$ и $BCM$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Дано: равносторонний треугольник $ABC$, точка $M$ внутри угла $ABC$ такая, что $\angle BMC = 30^\circ$ и $\angle BMA = 17^\circ$.

Так как треугольник $ABC$ равносторонний, то $AB = BC = CA$, и все его углы равны $60^\circ$: $\angle ABC = \angle BCA = \angle CAB = 60^\circ$.

Обозначим искомые углы $\angle BAM = x$ и $\angle BCM = y$. Также введем обозначения $\angle ABM = \alpha$ и $\angle CBM = \beta$.

Рассмотрим два возможных случая расположения точки $M$.

Случай 1: Точка $M$ находится внутри треугольника $ABC$.

Если точка $M$ находится внутри треугольника, то луч $BM$ проходит между лучами $BA$ и $BC$. Следовательно, $\angle ABM + \angle CBM = \angle ABC$, то есть $\alpha + \beta = 60^\circ$.

Рассмотрим сумму углов в треугольниках $\triangle BMA$ и $\triangle BMC$:

1. В $\triangle BMA$: $\angle BAM + \angle ABM + \angle BMA = 180^\circ \implies x + \alpha + 17^\circ = 180^\circ \implies x + \alpha = 163^\circ$.

2. В $\triangle BMC$: $\angle BCM + \angle CBM + \angle BMC = 180^\circ \implies y + \beta + 30^\circ = 180^\circ \implies y + \beta = 150^\circ$.

Сложим эти два равенства: $(x + \alpha) + (y + \beta) = 163^\circ + 150^\circ \implies x + y + (\alpha + \beta) = 313^\circ$.

Подставим $\alpha + \beta = 60^\circ$: $x + y + 60^\circ = 313^\circ \implies x + y = 253^\circ$.

Однако, если $M$ внутри треугольника, то $\angle BAM < \angle CAB = 60^\circ$ и $\angle BCM < \angle BCA = 60^\circ$. Следовательно, их сумма $x+y$ должна быть меньше $120^\circ$. Полученное равенство $x + y = 253^\circ$ противоречит этому условию. Значит, предположение о том, что точка $M$ находится внутри треугольника $ABC$, неверно.

Случай 2: Точка $M$ находится вне треугольника $ABC$.

По условию, точка $M$ находится внутри угла $ABC$. Если она вне треугольника, то она расположена по другую сторону от прямой $AC$, чем вершина $B$. В этом случае возможны два варианта: либо луч $BC$ лежит между лучами $BA$ и $BM$, либо луч $BA$ лежит между лучами $BC$ и $BM$. Рассмотрим вариант, когда луч $BA$ лежит между $BC$ и $BM$. Тогда $\angle CBM = \angle CBA + \angle ABM$, то есть $\beta = 60^\circ + \alpha$.

Для решения задачи применим метод поворота. Повернем $\triangle BCM$ вокруг точки $C$ на $60^\circ$ против часовой стрелки. При таком повороте вершина $B$ перейдет в вершину $A$ (так как $CB=CA$ и $\angle BCA=60^\circ$), а точка $M$ перейдет в некоторую точку $P$. Тогда $\triangle BCM \cong \triangle AP C$. Из этого следует:

• $CM = CP$
• $BM = AP$
• $\angle BMC = \angle AP C = 30^\circ$

Рассмотрим $\triangle CMP$. Так как $CM = CP$ и угол поворота $\angle MCP = 60^\circ$, то $\triangle CMP$ является равносторонним. Следовательно, $CM = MP = PC$ и все его углы равны $60^\circ$, в частности $\angle CPM = 60^\circ$.

Теперь определим взаимное расположение лучей $PA$, $PC$ и $PM$, исходящих из точки $P$. Так как $M$ находится вне $\triangle ABC$ и луч $BA$ лежит между $BC$ и $BM$, то луч $CA$ лежит между лучами $CB$ и $CM$. При повороте на $60^\circ$ против часовой стрелки луч $CB$ переходит в $CA$, а $CM$ - в $CP$. Поскольку луч $CA$ был между $CB$ и $CM$, после поворота он окажется между лучами $CA$ и $CP$. Это неверно. Давайте проанализируем углы. В конфигурации $\beta = 60^\circ + \alpha$, луч $CA$ лежит между лучами $CB$ и $CM$. Поворот на $60^\circ$ против часовой стрелки переводит $C \to C, B \to A, M \to P$. Значит, фигура $BCM$ переходит в $ACP$. Следовательно, расположение лучей $CA, CP$ относительно $CB$ такое же, как $CB, CM$ относительно $CA$. Поскольку A находится "внутри" угла $\angle PCM$ (так как $\angle PCM = 60^\circ$, а $\angle ACM = y-60 < 60$), то луч $PA$ будет лежать между лучами $PC$ и $PM$. Тогда $\angle CPM = \angle CPA + \angle APM$.$60^\circ = 30^\circ + \angle APM \implies \angle APM = 30^\circ$.

Теперь применим теорему косинусов.

В $\triangle AMP$: $AM^2 = AP^2 + MP^2 - 2(AP)(MP)\cos(\angle APM) = BM^2 + CM^2 - 2(BM)(CM)\cos(30^\circ)$.

В $\triangle BMC$: $BC^2 = BM^2 + CM^2 - 2(BM)(CM)\cos(\angle BMC) = BM^2 + CM^2 - 2(BM)(CM)\cos(30^\circ)$.

Сравнивая правые части этих двух выражений, получаем $AM^2 = BC^2$. Так как $BC = AB$, то $AM = AB$.

Это означает, что $\triangle ABM$ является равнобедренным с основанием $BM$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle ABM = \angle AMB$. По условию $\angle AMB = 17^\circ$, следовательно, $\angle ABM = \alpha = 17^\circ$.

Теперь, зная $\alpha$, мы можем найти все остальные углы.

$\angle BAM$

В $\triangle ABM$ сумма углов равна $180^\circ$:

$\angle BAM + \angle ABM + \angle BMA = 180^\circ$

$x + 17^\circ + 17^\circ = 180^\circ$

$x + 34^\circ = 180^\circ$

$x = 146^\circ$

Ответ: $\angle BAM = 146^\circ$.

$\angle BCM$

Мы исходили из предположения, что $\beta = 60^\circ + \alpha$. Подставляем найденное значение $\alpha=17^\circ$:

$\beta = 60^\circ + 17^\circ = 77^\circ$. То есть $\angle CBM = 77^\circ$.

Теперь рассмотрим $\triangle BMC$. Сумма углов равна $180^\circ$:

$\angle BCM + \angle CBM + \angle BMC = 180^\circ$

$y + 77^\circ + 30^\circ = 180^\circ$

$y + 107^\circ = 180^\circ$

$y = 73^\circ$

Ответ: $\angle BCM = 73^\circ$.