Номер 891, страница 218 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 891, страница 218.

Условие.

891. В четырёхугольнике $ABCD$, вписанном в окружность, биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке, лежащей на стороне $CD$. Докажите, что $CD = BC + AD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть биссектрисы углов $A$ и $B$ четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $K$, лежащей на стороне $CD$. Обозначим $\angle DAB = \angle A$ и $\angle ABC = \angle B$. Так как $AK$ и $BK$ — биссектрисы, то $\angle DAK = \angle KAB = \frac{\angle A}{2}$ и $\angle ABK = \angle KBC = \frac{\angle B}{2}$.

Мы докажем, что треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle BCK$ являются равнобедренными, а именно, что $AD=DK$ и $BC=CK$. Если это так, то, поскольку точка $K$ лежит на стороне $CD$, мы имеем $CD = CK + DK$. Подставив доказанные равенства, получим $CD = BC + AD$, что и требуется доказать.

Для доказательства того, что треугольники равнобедренные, мы докажем равенство углов при их основаниях.

1. Докажем, что $AD = DK$.
Для этого нужно показать, что в $\triangle ADK$ углы при основании $AK$ равны, то есть $\angle AKD = \angle DAK$. Мы знаем, что $\angle DAK = \frac{\angle A}{2}$. Найдем величину угла $\angle AKD$.

Продолжим биссектрису угла $A$ — прямую $AK$ — до пересечения с описанной окружностью в точке $P$. По свойству биссектрисы вписанного угла, точка $P$ делит дугу $BD$ на две равные части: $\cup BP = \cup PD$. Равные дуги стягиваются равными хордами, следовательно, $PB = PD$.

Рассмотрим треугольник $PDK$. Он равнобедренный с основанием $DK$, если $PD = PK$. Докажем, что это так. По свойству, известному как "лемма о трезубце", точка пересечения биссектрисы угла треугольника с описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и инцентра. В нашем случае, точка $P$ (пересечение биссектрисы угла $A$ с окружностью) равноудалена от вершин $B$, $D$ и точки $K$ (пересечения биссектрис углов $A$ и $B$). Таким образом, $PB = PD = PK$.

Так как $PD=PK$, то треугольник $PDK$ является равнобедренным с основанием $DK$. Значит, углы при основании равны: $\angle PKD = \angle PDK$. Угол $\angle PKD$ — это тот же угол, что и $\angle AKD$, так как точки $A, K, P$ лежат на одной прямой. Угол $\angle PDK$ — это тот же угол, что и $\angle PDC$. Следовательно, $\angle AKD = \angle PDC$.

Угол $\angle PDC$ является вписанным и опирается на дугу $PC$. На эту же дугу опирается вписанный угол $\angle PAC$. Значит, $\angle PDC = \angle PAC$. Угол $\angle PAC$ — это тот же угол, что и $\angle KAB$, то есть $\angle PAC = \frac{\angle A}{2}$. Таким образом, мы получаем цепочку равенств:$\angle AKD = \angle PKD = \angle PDK = \angle PDC = \angle PAC = \frac{\angle A}{2}$.

В треугольнике $ADK$ мы имеем $\angle DAK = \frac{\angle A}{2}$ и $\angle AKD = \frac{\angle A}{2}$. Два угла в треугольнике равны, следовательно, он равнобедренный: $AD = DK$.

2. Докажем, что $BC = CK$.
Доказательство аналогично. Нужно показать, что в $\triangle BCK$ углы при основании $BK$ равны, то есть $\angle BKC = \angle KBC$. Мы знаем, что $\angle KBC = \frac{\angle B}{2}$. Найдем величину угла $\angle BKC$.

Продолжим биссектрису угла $B$ — прямую $BK$ — до пересечения с описанной окружностью в точке $Q$. По свойству биссектрисы вписанного угла, точка $Q$ делит дугу $AC$ на две равные части: $\cup AQ = \cup QC$. Следовательно, хорды $QA = QC$.

По той же "лемме о трезубце", точка $Q$ равноудалена от вершин $A$, $C$ и точки $K$. Таким образом, $QA = QC = QK$.

Так как $QC=QK$, то треугольник $QCK$ является равнобедренным с основанием $CK$. Значит, углы при основании равны: $\angle QKC = \angle QCK$. Угол $\angle QKC$ — это тот же угол, что и $\angle BKC$, так как точки $B, K, Q$ лежат на одной прямой. Угол $\angle QCK$ — это тот же угол, что и $\angle QCD$. Следовательно, $\angle BKC = \angle QCD$.

Угол $\angle QCD$ является вписанным и опирается на дугу $QD$. На эту же дугу опирается вписанный угол $\angle QBD$. Значит, $\angle QCD = \angle QBD$. Угол $\angle QBD$ — это тот же угол, что и $\angle KBC$, то есть $\angle QBD = \frac{\angle B}{2}$. Таким образом, мы получаем цепочку равенств:$\angle BKC = \angle QKC = \angle QCK = \angle QCD = \angle QBD = \frac{\angle B}{2}$.

В треугольнике $BCK$ мы имеем $\angle KBC = \frac{\angle B}{2}$ и $\angle BKC = \frac{\angle B}{2}$. Два угла в треугольнике равны, следовательно, он равнобедренный: $BC = CK$.

3. Завершение доказательства.
Поскольку точка $K$ лежит на стороне $CD$, длина отрезка $CD$ равна сумме длин отрезков $CK$ и $DK$:$CD = CK + DK$. Заменяя $CK$ на $BC$ и $DK$ на $AD$ на основании доказанных выше равенств, получаем:$CD = BC + AD$.

Что и требовалось доказать.