Номер 896, страница 219 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 896, страница 219.

Условие.

896 Докажите, что основания перпендикуляров, проведённых из произвольной точки окружности, описанной около треугольника, к прямым, содержащим стороны этого треугольника, лежат на одной прямой (прямая Симпсона).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть дан треугольник $ABC$ и описанная около него окружность. Пусть $P$ — произвольная точка на этой окружности. Опустим из точки $P$ перпендикуляры на прямые, содержащие стороны треугольника $ABC$. Обозначим основания этих перпендикуляров как:

• $L$ — основание перпендикуляра на прямой $BC$ ($PL \perp BC$),
• $M$ — основание перпендикуляра на прямой $AC$ ($PM \perp AC$),
• $N$ — основание перпендикуляра на прямой $AB$ ($PN \perp AB$).

Требуется доказать, что точки $L, M, N$ лежат на одной прямой.

Для доказательства мы воспользуемся свойствами вписанных углов и вписанных четырехугольников. Докажем, что угол, образованный точками $L, N, M$, является развернутым, то есть $\angle LNM = 180^\circ$.

1. Рассмотрим четырехугольник $ANPM$. По построению, углы $\angle PNA$ и $\angle PMA$ являются прямыми ($\angle PNA = \angle PMA = 90^\circ$). Оба этих угла опираются на отрезок $PA$. Следовательно, точки $A, N, P, M$ лежат на одной окружности с диаметром $PA$. Таким образом, четырехугольник $ANPM$ — вписанный. Во вписанном четырехугольнике углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle PNM$ и $\angle PAM$ опираются на дугу $PM$. Значит, $\angle PNM = \angle PAM$. Угол $\angle PAM$ — это то же самое, что и угол $\angle PAC$. Итак, $\angle PNM = \angle PAC$.

2. Рассмотрим четырехугольник $BNPL$. Аналогично, по построению $\angle PNB = \angle PLB = 90^\circ$. Оба этих угла опираются на отрезок $PB$. Следовательно, точки $B, N, P, L$ лежат на одной окружности с диаметром $PB$, и четырехугольник $BNPL$ — вписанный. Во вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Углы $\angle PNL$ и $\angle PBL$ являются противоположными. Значит, $\angle PNL + \angle PBL = 180^\circ$, откуда следует, что $\angle PNL = 180^\circ - \angle PBL$. Угол $\angle PBL$ — это то же самое, что и угол $\angle PBC$. Таким образом, $\angle PNL = 180^\circ - \angle PBC$.

3. Используем свойство, что точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$. Точки $A, B, C, P$ лежат на одной окружности. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Рассмотрим углы $\angle PAC$ и $\angle PBC$. Оба этих угла опираются на дугу $PC$.

• Если точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $PC$ (что соответствует случаю, когда $P$ лежит на дуге $AB$ или $BC$ или $CA$, не совпадая с вершинами), то $\angle PAC = \angle PBC$.
• Если точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $PC$ (что соответствует случаю, когда $P$ лежит на дуге $AC$, содержащей точку $B$), то $\angle PAC + \angle PBC = 180^\circ$.

Рассмотрим первый случай: $\angle PAC = \angle PBC$. Найдем угол $\angle LNM$. В зависимости от расположения точек, этот угол может быть суммой или разностью углов $\angle PNM$ и $\angle PNL$. Предположим, что луч $NP$ лежит между лучами $NL$ и $NM$. Тогда $\angle LNM = \angle PNM + \angle PNL$. Подставим полученные ранее выражения:$\angle LNM = \angle PAC + (180^\circ - \angle PBC)$. Так как $\angle PAC = \angle PBC$, получаем:$\angle LNM = \angle PBC + 180^\circ - \angle PBC = 180^\circ$.

Рассмотрим второй случай: $\angle PAC + \angle PBC = 180^\circ$. В этом случае конфигурация точек такова, что один из углов, например $\angle PNM$, будет равен $180^\circ - \angle PAC$. Рассуждения остаются верными, и итоговый результат сохраняется. Например, если $P$ лежит на дуге $AB$, не содержащей $C$, то точка $M$ будет лежать на продолжении стороны $AC$ за точку $A$. Тогда $\angle PNM = 180^\circ - \angle PAM = 180^\circ - \angle PAC$. Угол $\angle PNL$ по-прежнему равен $\angle PBL$ (так как $N$ и $B$ по одну сторону от $PL$), что равно $\angle PBC$. Угол $\angle LNM$ будет равен $|\angle PNL - \angle PNM| = |\angle PBC - (180^\circ - \angle PAC)| = |\angle PBC + \angle PAC - 180^\circ|$. Так как $\angle PAC + \angle PBC = 180^\circ$, то $\angle LNM = |180^\circ - 180^\circ| = 0^\circ$. Угол $0^\circ$ или $180^\circ$ означает, что точки лежат на одной прямой.

Таким образом, во всех случаях точки $L, M, N$ лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симпсона.

Ответ: Утверждение доказано. Основания перпендикуляров лежат на одной прямой.