Номер 903, страница 219 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 903, страница 219.

Условие.

903 Докажите утверждения об основных свойствах умножения вектора на число (п. 86).

Решение

1. Докажем, что для любых чисел $k, l$ и любого вектора $\vec{a}$ справедливо равенство $(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$.

Если $\vec{a} = \vec{0}$, то справедливость этого равенства очевидна. Пусть $\vec{a} \neq \vec{0}$. Имеем: $|(kl)\vec{a}| = |kl||\vec{a}| = |k||l||\vec{a}| = |k||l\vec{a}| = |k(l\vec{a})|$.

Далее, если $kl \ge 0$, то $(kl)\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{a}$ и $k(l\vec{a}) \uparrow\uparrow \vec{a}$; если же $kl < 0$, то $(kl)\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{a}$ и $k(l\vec{a}) \uparrow\downarrow \vec{a}$. И в том и в другом случае $(kl)\vec{a} \uparrow\uparrow k(l\vec{a})$.

Следовательно, $(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$.

2. Докажем, что для любого числа $k$ и любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство $k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$.

Если $k=0$, то справедливость этого равенства очевидна. Пусть $k \neq 0$.

$\vec{OB} = k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$

$\vec{OB} = k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$

Рис. 272 а) б)

Рассмотрим случай, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны (случай $\vec{a} \parallel \vec{b}$ рассмотрите самостоятельно). Отложим от какой-нибудь точки $O$ векторы $\vec{OA_1} = \vec{a}$ и $\vec{OA} = k\vec{a}$, а от точек $A_1$ и $A$ – векторы $\vec{A_1B_1} = \vec{b}$ и $\vec{AB} = k\vec{b}$ (рис. 272, а, б). Треугольники $OA_1B_1$ и $OAB$ подобны с коэффициентом подобия $|k|$. Следовательно, $\vec{OB} = k\vec{OB_1} = k(\vec{a}+\vec{b})$. С другой стороны, $\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB} = k\vec{a} + k\vec{b}$. Итак, $k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$.

3. Докажем, что для любых чисел $k, l$ и любого вектора $\vec{a}$ справедливо равенство $(k+l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$.

Если $k=l=0$, то справедливость этого равенства очевидна. Пусть хотя бы одно из чисел $k, l$ отлично от нуля. Для определённости будем считать, что $|k| \ge |l|$, и, следовательно, $k \neq 0$ и $|\frac{l}{k}| \le 1$.

Рассмотрим вектор $\vec{a} + \frac{l}{k}\vec{a}$. Очевидно, $(\vec{a} + \frac{l}{k}\vec{a}) \uparrow\uparrow \vec{a}$. Далее, $|\vec{a} + \frac{l}{k}\vec{a}| = |\vec{a}| + |\frac{l}{k}\vec{a}| = (1 + |\frac{l}{k}|)|\vec{a}|$.

Следовательно, согласно определению произведения вектора на число, $\vec{a} + \frac{l}{k}\vec{a} = (1 + \frac{l}{k})\vec{a}$. Умножая обе части этого равенства на $k$, получим, что справедливо равенство $k\vec{a} + l\vec{a} = (k+l)\vec{a}$.

Решение 2.

Решение 4.