Номер 903, страница 219 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 903, страница 219.

Условие.

903 Докажите утверждения об основных свойствах умножения вектора на число (п. 86).

Решение

1. Докажем, что для любых чисел $k, l$ и любого вектора $\vec{a}$ справедливо равенство $(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$.

Если $\vec{a} = \vec{0}$, то справедливость этого равенства очевидна. Пусть $\vec{a} \neq \vec{0}$. Имеем: $|(kl)\vec{a}| = |kl||\vec{a}| = |k||l||\vec{a}| = |k||l\vec{a}| = |k(l\vec{a})|$.

Далее, если $kl \ge 0$, то $(kl)\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{a}$ и $k(l\vec{a}) \uparrow\uparrow \vec{a}$; если же $kl < 0$, то $(kl)\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{a}$ и $k(l\vec{a}) \uparrow\downarrow \vec{a}$. И в том и в другом случае $(kl)\vec{a} \uparrow\uparrow k(l\vec{a})$.

Следовательно, $(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$.

2. Докажем, что для любого числа $k$ и любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство $k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$.

Если $k=0$, то справедливость этого равенства очевидна. Пусть $k \neq 0$.

$\vec{OB} = k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$

$\vec{OB} = k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$

Рис. 272 а) б)

Рассмотрим случай, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны (случай $\vec{a} \parallel \vec{b}$ рассмотрите самостоятельно). Отложим от какой-нибудь точки $O$ векторы $\vec{OA_1} = \vec{a}$ и $\vec{OA} = k\vec{a}$, а от точек $A_1$ и $A$ – векторы $\vec{A_1B_1} = \vec{b}$ и $\vec{AB} = k\vec{b}$ (рис. 272, а, б). Треугольники $OA_1B_1$ и $OAB$ подобны с коэффициентом подобия $|k|$. Следовательно, $\vec{OB} = k\vec{OB_1} = k(\vec{a}+\vec{b})$. С другой стороны, $\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB} = k\vec{a} + k\vec{b}$. Итак, $k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$.

3. Докажем, что для любых чисел $k, l$ и любого вектора $\vec{a}$ справедливо равенство $(k+l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$.

Если $k=l=0$, то справедливость этого равенства очевидна. Пусть хотя бы одно из чисел $k, l$ отлично от нуля. Для определённости будем считать, что $|k| \ge |l|$, и, следовательно, $k \neq 0$ и $|\frac{l}{k}| \le 1$.

Рассмотрим вектор $\vec{a} + \frac{l}{k}\vec{a}$. Очевидно, $(\vec{a} + \frac{l}{k}\vec{a}) \uparrow\uparrow \vec{a}$. Далее, $|\vec{a} + \frac{l}{k}\vec{a}| = |\vec{a}| + |\frac{l}{k}\vec{a}| = (1 + |\frac{l}{k}|)|\vec{a}|$.

Следовательно, согласно определению произведения вектора на число, $\vec{a} + \frac{l}{k}\vec{a} = (1 + \frac{l}{k})\vec{a}$. Умножая обе части этого равенства на $k$, получим, что справедливо равенство $k\vec{a} + l\vec{a} = (k+l)\vec{a}$.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 10.

1. Докажем, что для любых чисел $k$, $l$ и любого вектора $\vec{a}$ справедливо равенство $(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$

Это свойство называется сочетательным законом (ассоциативностью) умножения вектора на число.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\vec{a} = \vec{0}$.
В этом случае равенство принимает вид $(kl)\vec{0} = k(l\vec{0})$. Так как произведение любого числа на нулевой вектор есть нулевой вектор, получаем $\vec{0} = k(\vec{0})$, что равносильно $\vec{0} = \vec{0}$. Равенство справедливо.

Случай 2: $\vec{a} \neq \vec{0}$.
Чтобы доказать равенство двух векторов, нужно показать, что они имеют одинаковые длины (модули) и одинаковое направление (со-направлены).

а) Сравним длины векторов.
Длина левой части: $|(kl)\vec{a}| = |kl| \cdot |\vec{a}|$.
Длина правой части: $|k(l\vec{a})| = |k| \cdot |l\vec{a}| = |k| \cdot (|l| \cdot |\vec{a}|) = (|k| \cdot |l|) \cdot |\vec{a}| = |kl| \cdot |\vec{a}|$.
Длины векторов равны.

б) Сравним направления векторов.
Направление вектора, полученного умножением на скаляр, зависит от знака этого скаляра.
- Если $kl \ge 0$, то вектор $(kl)\vec{a}$ сонаправлен вектору $\vec{a}$ (т.е. $(kl)\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{a}$).
В этом случае возможны два варианта: либо $k \ge 0$ и $l \ge 0$, либо $k \le 0$ и $l \le 0$.
Если $k \ge 0$ и $l \ge 0$, то $l\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{a}$, и $k(l\vec{a}) \uparrow\uparrow l\vec{a}$, следовательно, $k(l\vec{a}) \uparrow\uparrow \vec{a}$.
Если $k \le 0$ и $l \le 0$, то $l\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{a}$, и $k(l\vec{a}) \uparrow\downarrow l\vec{a}$, следовательно, $k(l\vec{a}) \uparrow\uparrow \vec{a}$.
В обоих вариантах при $kl \ge 0$ вектор $k(l\vec{a})$ сонаправлен вектору $\vec{a}$.

- Если $kl < 0$, то вектор $(kl)\vec{a}$ направлен противоположно вектору $\vec{a}$ (т.е. $(kl)\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{a}$).
В этом случае $k$ и $l$ имеют разные знаки.
Если $k > 0$ и $l < 0$, то $l\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{a}$, и $k(l\vec{a}) \uparrow\uparrow l\vec{a}$, следовательно, $k(l\vec{a}) \uparrow\downarrow \vec{a}$.
Если $k < 0$ и $l > 0$, то $l\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{a}$, и $k(l\vec{a}) \uparrow\downarrow l\vec{a}$, следовательно, $k(l\vec{a}) \uparrow\downarrow \vec{a}$.
В обоих вариантах при $kl < 0$ вектор $k(l\vec{a})$ направлен противоположно вектору $\vec{a}$.

Таким образом, направления векторов $(kl)\vec{a}$ и $k(l\vec{a})$ всегда совпадают.

Поскольку длины и направления векторов в левой и правой частях равенства совпадают, векторы равны.

Ответ: Утверждение доказано.

2. Докажем, что для любого числа $k$ и любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$

Это свойство называется распределительным законом (дистрибутивностью) относительно сложения векторов.

Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1: $k=0$.
Равенство принимает вид $0(\vec{a} + \vec{b}) = 0\vec{a} + 0\vec{b}$, что равносильно $\vec{0} = \vec{0} + \vec{0}$, или $\vec{0} = \vec{0}$. Равенство справедливо.

Случай 2: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны (т.е. лежат на одной прямой или на параллельных прямых).
Если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то существует такое число $m$, что $\vec{b} = m\vec{a}$.
Левая часть: $k(\vec{a} + \vec{b}) = k(\vec{a} + m\vec{a}) = k((1+m)\vec{a})$. Используя доказанное выше свойство 1, получим: $(k(1+m))\vec{a} = (k+km)\vec{a}$.
Правая часть: $k\vec{a} + k\vec{b} = k\vec{a} + k(m\vec{a}) = k\vec{a} + (km)\vec{a}$. Так как векторы $k\vec{a}$ и $(km)\vec{a}$ коллинеарны, их можно сложить, сложив их коэффициенты: $(k+km)\vec{a}$.
Левая и правая части равны, следовательно, равенство справедливо.

Случай 3: $k \neq 0$ и векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны.
Воспользуемся геометрическим построением. Отложим от произвольной точки $O$ вектор $\vec{OA_1} = \vec{a}$. От точки $A_1$ отложим вектор $\vec{A_1B_1} = \vec{b}$. По правилу треугольника, вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ будет равен вектору $\vec{OB_1}$. Таким образом, $\vec{OB_1} = \vec{a} + \vec{b}$.

Теперь от той же точки $O$ отложим вектор $\vec{OA} = k\vec{a} = k\vec{OA_1}$. От точки $A$ отложим вектор $\vec{AB} = k\vec{b} = k\vec{A_1B_1}$. По правилу треугольника, $\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB} = k\vec{a} + k\vec{b}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OAB$.
По построению, $\vec{OA} = k\vec{OA_1}$ и $\vec{AB} = k\vec{A_1B_1}$. Из этого следует, что стороны $OA$ и $OA_1$ лежат на одной прямой, а стороны $AB$ и $A_1B_1$ параллельны. Следовательно, угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{AB}$ равен углу между векторами $\vec{OA_1}$ и $\vec{A_1B_1}$.
Также из построения имеем соотношения длин сторон: $OA = |k| \cdot OA_1$ и $AB = |k| \cdot A_1B_1$.
Таким образом, $\triangle OAB$ подобен $\triangle OA_1B_1$ по второму признаку подобия (пропорциональность двух сторон и равенство угла между ними). Коэффициент подобия равен $|k|$.

Из подобия треугольников следует, что $OB = |k| \cdot OB_1$ и сторона $OB$ параллельна стороне $OB_1$. Это означает, что векторы $\vec{OB}$ и $\vec{OB_1}$ коллинеарны и их длины связаны соотношением $OB = |k| \cdot OB_1$.
Если $k>0$, то точки $A$ и $B$ находятся на лучах $OA_1$ и $OB_1$ соответственно, и векторы $\vec{OB}$ и $\vec{OB_1}$ сонаправлены. Если $k<0$, то точки $A$ и $B$ находятся на лучах, противоположных лучам $OA_1$ и $OB_1$, и векторы $\vec{OB}$ и $\vec{OB_1}$ направлены противоположно. В обоих случаях это соответствует определению умножения вектора на число, то есть $\vec{OB} = k \cdot \vec{OB_1}$.

Подставим выражения для векторов:
$\vec{OB} = k\vec{a} + k\vec{b}$
$\vec{OB_1} = \vec{a} + \vec{b}$
Получаем: $k\vec{a} + k\vec{b} = k(\vec{a} + \vec{b})$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

3. Докажем, что для любых чисел $k$, $l$ и любого вектора $\vec{a}$ справедливо равенство $(k+l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$

Это свойство также является распределительным законом (дистрибутивностью), но относительно сложения скаляров.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\vec{a} = \vec{0}$.
Равенство принимает вид $(k+l)\vec{0} = k\vec{0} + l\vec{0}$, что равносильно $\vec{0} = \vec{0} + \vec{0}$, или $\vec{0} = \vec{0}$. Равенство справедливо.

Случай 2: $\vec{a} \neq \vec{0}$.
Если $k=l=0$, равенство очевидно. Пусть хотя бы одно из чисел $k, l$ не равно нулю. Для определённости, предположим, что $k \neq 0$.
Векторы в левой и правой частях равенства коллинеарны вектору $\vec{a}$. Докажем их равенство, основываясь на ранее доказанных свойствах.

Рассмотрим сумму векторов $k\vec{a}$ и $l\vec{a}$. Это правая часть доказываемого равенства. Вынесем $k$ за скобки, используя свойство 2 (дистрибутивность) в обратную сторону и свойство 1 (ассоциативность).
$k\vec{a} + l\vec{a} = k\vec{a} + (k \cdot \frac{l}{k})\vec{a} = k\vec{a} + k(\frac{l}{k}\vec{a})$
Теперь применим свойство 2:
$k\vec{a} + k(\frac{l}{k}\vec{a}) = k(\vec{a} + \frac{l}{k}\vec{a})$
Векторы $\vec{a}$ и $\frac{l}{k}\vec{a}$ коллинеарны. Их сумма — это вектор, коллинеарный $\vec{a}$, коэффициент при котором равен сумме коэффициентов. То есть, $\vec{a} + \frac{l}{k}\vec{a} = (1)\vec{a} + \frac{l}{k}\vec{a} = (1+\frac{l}{k})\vec{a}$.
Подставим это в наше выражение:
$k(\vec{a} + \frac{l}{k}\vec{a}) = k((1+\frac{l}{k})\vec{a})$
Теперь применим свойство 1:
$k((1+\frac{l}{k})\vec{a}) = (k(1+\frac{l}{k}))\vec{a} = (k \cdot 1 + k \cdot \frac{l}{k})\vec{a} = (k+l)\vec{a}$.

Таким образом, мы преобразовали правую часть равенства ($k\vec{a} + l\vec{a}$) в левую ($(k+l)\vec{a}$), что и доказывает справедливость утверждения.

Ответ: Утверждение доказано.