Номер 902, страница 219 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 902, страница 219.

Условие.

902 Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте треугольник, для которого эти точки являются основаниями высот. Сколько решений имеет задача?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть данные три точки, не лежащие на одной прямой, — это $H_a$, $H_b$ и $H_c$. Мы ищем треугольник $ABC$, для которого эти точки являются основаниями высот, проведенных соответственно из вершин $A$, $B$ и $C$. Треугольник, образованный основаниями высот, называется ортотреугольником (или педальным треугольником). Таким образом, $\triangle H_aH_bH_c$ — это ортотреугольник искомого $\triangle ABC$.

Ключевым свойством для решения этой задачи является связь между треугольником, его ортоцентром и ортотреугольником.

Пусть $H$ — ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника $ABC$. Четыре точки $\{A, B, C, H\}$ образуют так называемую ортоцентрическую систему. Это означает, что любая из этих четырех точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими точками. Например, точка $A$ является ортоцентром $\triangle HBC$, точка $B$ — ортоцентром $\triangle HAC$, и так далее.

Важнейший факт заключается в том, что все четыре треугольника ортоцентрической системы ($\triangle ABC$, $\triangle HBC$, $\triangle HAC$, $\triangle HAB$) имеют один и тот же ортотреугольник — $\triangle H_aH_bH_c$.

С другой стороны, существует фундаментальная связь между вершинами и ортоцентром треугольника и "замечательными" точками его ортотреугольника. А именно, вершины $A, B, C$ и ортоцентр $H$ треугольника являются центрами вписанной и вневписанных окружностей его ортотреугольника $H_aH_bH_c$.

Таким образом, задача сводится к нахождению этих четырех точек (центра вписанной и трех центров вневписанных окружностей) для треугольника, образованного данными точками $H_a, H_b, H_c$. Эти четыре точки и образуют ортоцентрическую систему, из которой можно составить четыре треугольника, удовлетворяющих условию задачи.

Построение

Алгоритм построения искомого треугольника (или треугольников) следующий:

1. Соединим данные точки $H_a$, $H_b$ и $H_c$ отрезками, чтобы построить их ортотреугольник $\triangle H_aH_bH_c$.
2. Для треугольника $\triangle H_aH_bH_c$ построим биссектрисы его внутренних углов. Точка их пересечения $I$ будет центром вписанной окружности (инцентром) этого треугольника.
3. Для каждой вершины $\triangle H_aH_bH_c$ построим биссектрисы двух внешних углов. Точки пересечения биссектрисы одного внутреннего угла и двух внешних (при других вершинах) являются центрами вневписанных окружностей (эксцентрами). Обозначим эти точки как $I_a, I_b, I_c$.
4. Найденные четыре точки $\{I, I_a, I_b, I_c\}$ и есть искомая ортоцентрическая система. Вершинами искомого треугольника могут быть любые три из этих четырех точек.

Сколько решений имеет задача?

Как следует из построения, мы получаем четыре точки: $I, I_a, I_b, I_c$. Любая тройка этих точек образует треугольник, для которого $\triangle H_aH_bH_c$ является ортотреугольником. Количество способов выбрать 3 точки из 4 равно числу сочетаний из 4 по 3:$$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$$

Следовательно, задача имеет 4 решения. Этими решениями являются следующие треугольники:

• $\triangle I_aI_bI_c$ (его ортоцентр — точка $I$)
• $\triangle II_bI_c$ (его ортоцентр — точка $I_a$)
• $\triangle II_aI_c$ (его ортоцентр — точка $I_b$)
• $\triangle II_aI_b$ (его ортоцентр — точка $I_c$)

Один из этих треугольников является остроугольным, а три других — тупоугольными.

Ответ: Задача имеет 4 решения. Для их построения необходимо построить треугольник по трем данным точкам, а затем найти центры его вписанной и трех вневписанных окружностей. Любые три из этих четырех центров будут вершинами одного из искомых треугольников.