Номер 906, страница 221 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 9 - номер 906, страница 221.

Условие.

906 Дан треугольник ABC. Докажите, что вектор $\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} + \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$ направлен вдоль биссектрисы угла $A$, а вектор $\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} - \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$ вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине $A$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Доказательство для вектора $\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} + \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$

Рассмотрим два единичных вектора (орта), исходящих из вершины A: $\vec{e_1} = \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}$ и $\vec{e_2} = \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$. Эти векторы сонаправлены со сторонами AB и AC треугольника соответственно, а их длины равны единице: $|\vec{e_1}| = |\vec{e_2}| = 1$.

Сумма этих векторов $\vec{v} = \vec{e_1} + \vec{e_2}$ находится по правилу параллелограмма. Построим параллелограмм на векторах $\vec{e_1}$ и $\vec{e_2}$ как на сторонах. Поскольку длины смежных сторон этого параллелограмма равны ($|\vec{e_1}| = |\vec{e_2}| = 1$), этот параллелограмм является ромбом.

Вектор суммы $\vec{v}$ является диагональю этого ромба, выходящей из общей вершины векторов $\vec{e_1}$ и $\vec{e_2}$ (точки А). Одно из свойств ромба заключается в том, что его диагонали являются биссектрисами его углов. Следовательно, вектор $\vec{v}$ делит пополам угол между векторами $\vec{e_1}$ и $\vec{e_2}$.

Так как векторы $\vec{e_1}$ и $\vec{e_2}$ направлены вдоль сторон AB и AC, угол между ними — это угол A треугольника ABC. Таким образом, вектор $\vec{v} = \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} + \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$ направлен вдоль биссектрисы угла A.

Ответ: Доказано, что вектор $\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} + \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$ направлен вдоль биссектрисы угла A.

Доказательство для вектора $\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} - \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$

Рассмотрим вектор $\vec{w} = \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} - \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$. Представим его как сумму векторов: $\vec{w} = \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} + \left(-\frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}\right)$.

Используем те же единичные векторы, что и ранее: $\vec{e_1} = \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}$ и $\vec{e_2} = \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$. Тогда $\vec{w} = \vec{e_1} + (-\vec{e_2})$. Вектор $-\vec{e_2}$ — это единичный вектор, направленный противоположно вектору $\vec{AC}$. Он лежит на продолжении стороны AC за вершину A.

Сумма $\vec{w} = \vec{e_1} + (-\vec{e_2})$ также находится по правилу параллелограмма. Построим параллелограмм на векторах $\vec{e_1}$ и $-\vec{e_2}$. Так как длины этих векторов равны ($|\vec{e_1}| = |-\vec{e_2}| = 1$), этот параллелограмм также является ромбом.

Вектор суммы $\vec{w}$ является диагональю этого ромба. Следовательно, он делит пополам угол между векторами $\vec{e_1}$ и $-\vec{e_2}$. Угол между вектором $\vec{e_1}$ (направленным вдоль AB) и вектором $-\vec{e_2}$ (направленным по продолжению AC) является внешним углом треугольника при вершине A.

Таким образом, вектор $\vec{w} = \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} - \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$ направлен вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине A.

Ответ: Доказано, что вектор $\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} - \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$ направлен вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине A.