Номер 908, страница 221 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 9 - номер 908, страница 221.

Условие.

908 Используя векторы, докажите, что середины диагоналей четырёхугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть задан произвольный четырехугольник $ABCD$. Выберем произвольную точку $O$ в качестве начала отсчета и обозначим радиус-векторы вершин четырехугольника как $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ и $\vec{OD} = \vec{d}$.

Для доказательства утверждения найдем радиус-векторы трех ключевых точек: середин диагоналей и точки пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.

1. Пусть $M$ — середина диагонали $AC$. Ее радиус-вектор $\vec{m}$ равен полусумме радиус-векторов ее концов:

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$

2. Пусть $N$ — середина диагонали $BD$. Ее радиус-вектор $\vec{n}$ вычисляется аналогично:

$\vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$

3. Пусть $G$ — точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон. Обозначим середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ точками $E$, $F$, $P$, $H$ соответственно. Их радиус-векторы:

$\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ (середина $AB$)

$\vec{f} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$ (середина $BC$)

$\vec{p} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$ (середина $CD$)

$\vec{h} = \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2}$ (середина $DA$)

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, — это $EP$ и $FH$. Четырехугольник $EFPH$ является параллелограммом (параллелограмм Вариньона). Докажем это, показав равенство векторов противоположных сторон, например, $\vec{EF}$ и $\vec{HP}$:

$\vec{EF} = \vec{f} - \vec{e} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{2}$

$\vec{HP} = \vec{p} - \vec{h} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{2}$

Поскольку $\vec{EF} = \vec{HP}$, четырехугольник $EFPH$ — параллелограмм. Его диагонали $EP$ и $FH$ пересекаются в точке $G$, которая является серединой каждой из них. Найдем радиус-вектор точки $G$ как середины отрезка $EP$:

$\vec{g} = \frac{\vec{e} + \vec{p}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} \right) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

Теперь, имея радиус-векторы точек $M$, $N$ и $G$, докажем, что они лежат на одной прямой. Для этого достаточно показать, что векторы, соединяющие эти точки, коллинеарны, например, векторы $\vec{MG}$ и $\vec{MN}$.

Найдем эти векторы:

$\vec{MG} = \vec{g} - \vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4} - \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} - 2(\vec{a} + \vec{c})}{4} = \frac{-\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} + \vec{d}}{4}$

$\vec{MN} = \vec{n} - \vec{m} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{c}}{2} = \frac{-\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} + \vec{d}}{2}$

Сравнивая выражения для векторов, видим, что:

$\vec{MG} = \frac{1}{2} \vec{MN}$

Так как вектор $\vec{MG}$ равен вектору $\vec{MN}$, умноженному на число $\frac{1}{2}$, эти векторы коллинеарны. Поскольку они имеют общую начальную точку $M$, то точки $M$, $G$ и $N$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что середины диагоналей четырехугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.