Номер 914, страница 227 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 1. Координаты вектора - номер 914, страница 227.

Условие.

914 Докажите, что если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то:

а) векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ не коллинеарны;

б) векторы $2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ не коллинеарны;

в) векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} + 3\vec{b}$ не коллинеарны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

По условию, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. Это означает, что они являются линейно независимыми. То есть, равенство вида $x\vec{a} + y\vec{b} = \vec{0}$ выполняется только в том случае, когда скалярные коэффициенты $x$ и $y$ одновременно равны нулю: $x=0$ и $y=0$.

Для доказательства каждого пункта воспользуемся методом от противного. Мы будем предполагать, что данные векторы коллинеарны, и покажем, что это предположение приводит к противоречию с исходным условием. Два вектора $\vec{c}$ и $\vec{d}$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что $\vec{c} = k\vec{d}$.

а)

Предположим, что векторы $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$ коллинеарны. Тогда существует такое число $k$, что выполняется равенство:

$\vec{a}+\vec{b} = k(\vec{a}-\vec{b})$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a}+\vec{b} = k\vec{a} - k\vec{b}$

$\vec{a} - k\vec{a} + \vec{b} + k\vec{b} = \vec{0}$

$(1-k)\vec{a} + (1+k)\vec{b} = \vec{0}$

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, данное равенство возможно только если коэффициенты при них равны нулю. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 1-k=0 \\ 1+k=0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы следует, что $k=1$. Из второго уравнения следует, что $k=-1$. Мы получили противоречие, так как $k$ не может одновременно быть равен $1$ и $-1$. Следовательно, наше первоначальное предположение о коллинеарности векторов было неверным.

Ответ: векторы $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$ не коллинеарны.

б)

Предположим, что векторы $2\vec{a}-\vec{b}$ и $\vec{a}+\vec{b}$ коллинеарны. Тогда найдется такое число $k$, что:

$2\vec{a}-\vec{b} = k(\vec{a}+\vec{b})$

Преобразуем равенство, сгруппировав слагаемые:

$2\vec{a}-\vec{b} = k\vec{a} + k\vec{b}$

$2\vec{a} - k\vec{a} - \vec{b} - k\vec{b} = \vec{0}$

$(2-k)\vec{a} - (1+k)\vec{b} = \vec{0}$

Так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, коэффициенты при них должны быть равны нулю:

$\begin{cases} 2-k=0 \\ -(1+k)=0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $k=2$. Из второго уравнения ($1+k=0$) получаем $k=-1$. Противоречие ($2 \neq -1$) доказывает, что наше предположение было неверным.

Ответ: векторы $2\vec{a}-\vec{b}$ и $\vec{a}+\vec{b}$ не коллинеарны.

в)

Предположим, что векторы $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}+3\vec{b}$ коллинеарны. Тогда существует такое число $k$, для которого выполняется:

$\vec{a}+\vec{b} = k(\vec{a}+3\vec{b})$

Выполним преобразования:

$\vec{a}+\vec{b} = k\vec{a} + 3k\vec{b}$

$\vec{a} - k\vec{a} + \vec{b} - 3k\vec{b} = \vec{0}$

$(1-k)\vec{a} + (1-3k)\vec{b} = \vec{0}$

В силу неколлинеарности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, равенство возможно только при нулевых коэффициентах:

$\begin{cases} 1-k=0 \\ 1-3k=0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $k=1$. Из второго уравнения находим $3k=1$, то есть $k=1/3$. Полученное противоречие ($1 \neq 1/3$) означает, что исходное предположение неверно.

Ответ: векторы $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}+3\vec{b}$ не коллинеарны.