Номер 917, страница 227 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 1. Координаты вектора - номер 917, страница 227.

Условие.

917 Начертите прямоугольную систему координат $Oxy$ и координатные векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$. Постройте векторы с началом в точке $O$, заданные координатами $\vec{a} \{3; 0\}$, $\vec{b} \{2; -1\}$, $\vec{c} \{0; -3\}$, $\vec{d} \{1; 1\}$, $\vec{e} \{2; \sqrt{2}\}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи сначала необходимо начертить прямоугольную (декартову) систему координат $Oxy$. Она состоит из двух взаимно перпендикулярных осей: горизонтальной оси абсцисс $Ox$ и вертикальной оси ординат $Oy$. Точка их пересечения $O$ является началом координат с координатами $(0; 0)$. На каждой оси выбирается единичный отрезок и положительное направление (обычно вправо для $Ox$ и вверх для $Oy$).

Далее строим координатные векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$. Вектор $\vec{i}$ — это единичный вектор, направленный вдоль положительной части оси $Ox$. Его начало — точка $O(0; 0)$, а конец — точка $(1; 0)$. Его координаты: $\vec{i}\{1; 0\}$. Вектор $\vec{j}$ — это единичный вектор, направленный вдоль положительной части оси $Oy$. Его начало — точка $O(0; 0)$, а конец — точка $(0; 1)$. Его координаты: $\vec{j}\{0; 1\}$.

Теперь построим векторы с началом в точке $O$, заданные их координатами. Общее правило: если вектор $\vec{v}$ имеет координаты $\{x; y\}$ и его начало находится в точке $O(0; 0)$, то его конец будет находиться в точке с координатами $(x; y)$.

$\vec{a}\{3; 0\}$

Вектор $\vec{a}$ имеет начало в точке $O(0; 0)$ и конец в точке с координатами $(3; 0)$. Обозначим эту точку как $A$. Точка $A(3; 0)$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии 3 единичных отрезков от начала координат в положительном направлении. Соединяем точку $O$ с точкой $A$ и ставим стрелку на конце в точке $A$. Полученный направленный отрезок $\vec{OA}$ и есть искомый вектор $\vec{a}$.

Ответ: Вектор $\vec{a}$ — это направленный отрезок из точки $O(0; 0)$ в точку $A(3; 0)$.

$\vec{b}\{2; -1\}$

Начало вектора $\vec{b}$ находится в точке $O(0; 0)$, а конец — в точке $B$ с координатами $(2; -1)$. Чтобы найти точку $B$, откладываем по оси $Ox$ 2 единичных отрезка вправо и по оси $Oy$ 1 единичный отрезок вниз. Проводим перпендикуляры из этих точек к соответствующим осям; точка их пересечения и будет точкой $B(2; -1)$. Соединяем точку $O$ с точкой $B$ направленным отрезком $\vec{OB}$. Это и есть вектор $\vec{b}$.

Ответ: Вектор $\vec{b}$ — это направленный отрезок из точки $O(0; 0)$ в точку $B(2; -1)$.

$\vec{c}\{0; -3\}$

Начало вектора $\vec{c}$ — точка $O(0; 0)$. Конец вектора — точка $C$ с координатами $(0; -3)$. Эта точка лежит на оси $Oy$ на расстоянии 3 единичных отрезков от начала координат в отрицательном направлении. Соединяем точку $O$ с точкой $C$ и ставим стрелку в точке $C$. Полученный направленный отрезок $\vec{OC}$ — это искомый вектор $\vec{c}$.

Ответ: Вектор $\vec{c}$ — это направленный отрезок из точки $O(0; 0)$ в точку $C(0; -3)$.

$\vec{d}\{1; 1\}$

Начало вектора $\vec{d}$ — точка $O(0; 0)$, а конец — точка $D$ с координатами $(1; 1)$. Находим на оси $Ox$ точку с координатой 1 и на оси $Oy$ точку с координатой 1. Точка $D(1; 1)$ находится на пересечении перпендикуляров к осям, проведенных через эти точки. Соединяем точку $O$ с точкой $D$ направленным отрезком $\vec{OD}$. Это вектор $\vec{d}$.

Ответ: Вектор $\vec{d}$ — это направленный отрезок из точки $O(0; 0)$ в точку $D(1; 1)$.

$\vec{e}\{2; \sqrt{2}\}$

Начало вектора $\vec{e}$ — точка $O(0; 0)$, а конец — точка $E$ с координатами $(2; \sqrt{2})$. Для построения используем приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.41$. Находим на оси $Ox$ точку с координатой 2. На оси $Oy$ находим точку с координатой $\sqrt{2}$, которая расположена немного ниже середины отрезка между отметками 1 и 2. Точка $E(2; \sqrt{2})$ находится на пересечении перпендикуляров к осям, проведенных через эти точки. Соединяем точку $O$ с точкой $E$ направленным отрезком $\vec{OE}$. Это вектор $\vec{e}$.

Ответ: Вектор $\vec{e}$ — это направленный отрезок из точки $O(0; 0)$ в точку $E(2; \sqrt{2})$.