Номер 915, страница 227 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 1. Координаты вектора - номер 915, страница 227.

Условие.

915. Точка M лежит на диагонали AC параллелограмма ABCD, причём AM : MC = 4 : 1. Разложите вектор $\vec{AM}$ по векторам $a = \vec{AB}$ и $b = \vec{AD}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Поскольку точка $M$ лежит на диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$, векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны (лежат на одной прямой) и сонаправлены (имеют одинаковое направление). Это значит, что вектор $\vec{AM}$ можно выразить через вектор $\vec{AC}$ как $\vec{AM} = k \cdot \vec{AC}$, где $k$ — это отношение их длин.

Из условия задачи известно соотношение длин отрезков $AM : MC = 4 : 1$. Это означает, что если мы разделим диагональ $AC$ на $4+1=5$ равных частей, то отрезок $AM$ будет занимать 4 такие части, а отрезок $MC$ — 1 часть. Следовательно, отношение длины отрезка $AM$ к длине всей диагонали $AC$ равно:
$\frac{AM}{AC} = \frac{4}{5}$.

Таким образом, коэффициент $k$ равен $\frac{4}{5}$, и мы можем записать:
$\vec{AM} = \frac{4}{5}\vec{AC}$.

Теперь необходимо выразить вектор $\vec{AC}$ через базисные векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$. В параллелограмме $ABCD$ вектор диагонали $\vec{AC}$ является суммой векторов сторон, выходящих из той же вершины, по правилу параллелограмма:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.

Подставляя заданные обозначения, получаем:
$\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$.

Наконец, подставим это выражение для $\vec{AC}$ в формулу для вектора $\vec{AM}$:
$\vec{AM} = \frac{4}{5}(\vec{a} + \vec{b})$.
Раскрывая скобки, получаем искомое разложение:
$\vec{AM} = \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b}$.

Ответ: $\vec{AM} = \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b}$.