Номер 913, страница 227 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 1. Координаты вектора - номер 913, страница 227.

Условие.

913 Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Коллинеарны ли векторы:

а) $\vec{a} + 3\vec{b}$ и $\vec{a}$;

б) $\vec{b} - 2\vec{a}$ и $\vec{a}$?

Ответ обоснуйте.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Два вектора являются коллинеарными, если существует такое число (скаляр), умножение на которое одного вектора дает второй вектор. Иначе говоря, векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ коллинеарны, если $\vec{x} = k \cdot \vec{y}$ для некоторого числа $k$.

По условию задачи векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Это означает, что существует такое число $k$, что выполняется равенство: $\vec{b} = k\vec{a}$. Это равенство мы будем использовать для решения обоих подпунктов.

а)

Проверим, коллинеарны ли векторы $\vec{a} + 3\vec{b}$ и $\vec{a}$. Для этого нужно выяснить, можно ли выразить один из них через другой с помощью умножения на скаляр. Возьмем вектор $\vec{a} + 3\vec{b}$ и подставим в него выражение для $\vec{b}$ через $\vec{a}$:
$\vec{a} + 3\vec{b} = \vec{a} + 3(k\vec{a})$
Используя свойства операций над векторами, вынесем вектор $\vec{a}$ за скобки:
$\vec{a} + 3k\vec{a} = (1 + 3k)\vec{a}$
Так как $k$ — это число, то выражение $(1 + 3k)$ также является числом. Обозначим его как $m = 1 + 3k$.
В результате мы получили, что $\vec{a} + 3\vec{b} = m\vec{a}$. Это равенство по определению означает, что векторы $\vec{a} + 3\vec{b}$ и $\vec{a}$ коллинеарны.

Ответ: да, коллинеарны.

б)

Проверим, коллинеарны ли векторы $\vec{b} - 2\vec{a}$ и $\vec{a}$. Поступим аналогично предыдущему пункту. Подставим $\vec{b} = k\vec{a}$ в выражение $\vec{b} - 2\vec{a}$:
$\vec{b} - 2\vec{a} = k\vec{a} - 2\vec{a}$
Вынесем общий вектор $\vec{a}$ за скобки:
$k\vec{a} - 2\vec{a} = (k - 2)\vec{a}$
Выражение $(k - 2)$ является числом. Обозначим его как $n = k - 2$.
Мы получили равенство $\vec{b} - 2\vec{a} = n\vec{a}$. Это означает, что вектор $\vec{b} - 2\vec{a}$ может быть получен из вектора $\vec{a}$ путем умножения на число $n$. Следовательно, эти векторы коллинеарны.

Ответ: да, коллинеарны.