Номер 911, страница 227 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 1. Координаты вектора - номер 911, страница 227.

Условие.

911 □ Найдите такое число $k$, чтобы выполнялось равенство $ \vec{n} = k\vec{m} $, если известно, что:

а) векторы $ \vec{m} $ и $ \vec{n} $ противоположно направлены и $ |\vec{m}| = 0,5 \text{ см} $, $ |\vec{n}| = 2 \text{ см} $;

б) векторы $ \vec{m} $ и $ \vec{n} $ сонаправлены и $ |\vec{m}| = 12 \text{ см} $, $ |\vec{n}| = 24 \text{ дм} $;

в) векторы $ \vec{m} $ и $ \vec{n} $ противоположно направлены и $ |\vec{m}| = 400 \text{ мм} $, $ |\vec{n}| = 4 \text{ дм} $;

г) векторы $ \vec{m} $ и $ \vec{n} $ сонаправлены и $ |\vec{m}| = \sqrt{2} \text{ см} $, $ |\vec{n}| = \sqrt{50} \text{ см} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для нахождения числа $k$ из равенства $\vec{n} = k\vec{m}$ необходимо определить его знак и модуль.

• Знак числа $k$ зависит от направления векторов. Если векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены, то $k > 0$. Если они противоположно направлены, то $k < 0$.
• Модуль числа $k$ равен отношению длин векторов: $|k| = \frac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|}$. При вычислении необходимо, чтобы длины были выражены в одинаковых единицах измерения.

а) Векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены, следовательно, коэффициент $k$ будет отрицательным ($k < 0$). Даны длины векторов: $|\vec{m}| = 0,5$ см, $|\vec{n}| = 2$ см. Найдем модуль числа $k$: $|k| = \frac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|} = \frac{2}{0,5} = 4$. Так как $k < 0$, получаем $k = -4$.
Ответ: $k = -4$.

б) Векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены, следовательно, коэффициент $k$ будет положительным ($k > 0$). Даны длины векторов: $|\vec{m}| = 12$ см, $|\vec{n}| = 24$ дм. Приведем длины к одной единице измерения (сантиметрам): $|\vec{n}| = 24 \text{ дм} = 24 \cdot 10 \text{ см} = 240 \text{ см}$. Найдем модуль числа $k$: $|k| = \frac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|} = \frac{240}{12} = 20$. Так как $k > 0$, получаем $k = 20$.
Ответ: $k = 20$.

в) Векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены, следовательно, коэффициент $k$ будет отрицательным ($k < 0$). Даны длины векторов: $|\vec{m}| = 400$ мм, $|\vec{n}| = 4$ дм. Приведем длины к одной единице измерения (сантиметрам): $|\vec{m}| = 400 \text{ мм} = \frac{400}{10} \text{ см} = 40 \text{ см}$. $|\vec{n}| = 4 \text{ дм} = 4 \cdot 10 \text{ см} = 40 \text{ см}$. Найдем модуль числа $k$: $|k| = \frac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|} = \frac{40}{40} = 1$. Так как $k < 0$, получаем $k = -1$.
Ответ: $k = -1$.

г) Векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены, следовательно, коэффициент $k$ будет положительным ($k > 0$). Даны длины векторов: $|\vec{m}| = \sqrt{2}$ см, $|\vec{n}| = \sqrt{50}$ см. Найдем модуль числа $k$: $|k| = \frac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|} = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$. Так как $k > 0$, получаем $k = 5$.
Ответ: $k = 5$.