Номер 904, страница 220 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 9 - номер 904, страница 220.

Условие.

904 Даны четырёхугольник MNPQ и точка O. Что представляет собой данный четырёхугольник, если $\vec{ON} - \vec{OM} = \vec{OP} - \vec{OQ}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Рассмотрим данное в условии векторное равенство: $\vec{ON} - \vec{OM} = \vec{OP} - \vec{OQ}$.

По определению разности векторов, для любых трех точек $A$, $B$ и $C$ справедливо равенство $\vec{CB} - \vec{CA} = \vec{AB}$. Используя это правило, преобразуем обе части исходного равенства.

Левая часть равенства представляет собой вектор $\vec{MN}$:
$\vec{ON} - \vec{OM} = \vec{MN}$

Правая часть равенства представляет собой вектор $\vec{QP}$:
$\vec{OP} - \vec{OQ} = \vec{QP}$

Таким образом, исходное равенство эквивалентно равенству векторов $\vec{MN} = \vec{QP}$.

Равенство двух векторов означает, что они равны по длине (модулю) и одинаково направлены (сонаправлены). Это значит, что для сторон четырехугольника $MNPQ$ выполняются два условия:
1. Длины сторон $MN$ и $QP$ равны: $|MN| = |QP|$.
2. Стороны $MN$ и $QP$ параллельны: $MN \parallel QP$.

В четырехугольнике $MNPQ$ стороны $MN$ и $QP$ являются противолежащими. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $MNPQ$ — это параллелограмм.
Ответ: Данный четырехугольник MNPQ является параллелограммом.