Номер 898, страница 219 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 898, страница 219.

Условие.

898. Даны окружность с центром $O$, точка $M$ и отрезки $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$. Постройте прямую $p$ так, чтобы окружность отсекала на ней хорду, равную $P_1Q_1$, и расстояние от точки $M$ до прямой $p$ равнялось $P_2Q_2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Решение данной задачи на построение основано на методе геометрических мест точек (ГМТ). Искомая прямая $p$ должна одновременно удовлетворять двум условиям. Рассмотрим каждое из них, чтобы определить соответствующие геометрические места.

1. Анализ первого условия.
Первое условие гласит, что окружность с центром $O$ и радиусом $R$ должна отсекать на искомой прямой $p$ хорду, равную по длине отрезку $P_1Q_1$. Все прямые, отсекающие на окружности хорды одинаковой длины, находятся на одном и том же расстоянии от ее центра. Это расстояние $r_1$ можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный радиусом $R$ (гипотенуза), половиной хорды $|P_1Q_1|/2$ (катет) и искомым расстоянием $r_1$ (второй катет). По теореме Пифагора:
$r_1^2 + (|P_1Q_1|/2)^2 = R^2$
Отсюда $r_1 = \sqrt{R^2 - (|P_1Q_1|/2)^2}$.
Таким образом, геометрическим местом прямых, удовлетворяющих первому условию, является множество всех касательных к окружности $\omega_1$ с центром в точке $O$ и радиусом $r_1$.

2. Анализ второго условия.
Второе условие требует, чтобы расстояние от точки $M$ до прямой $p$ равнялось длине отрезка $P_2Q_2$. Геометрическим местом прямых, находящихся на постоянном расстоянии $|P_2Q_2|$ от точки $M$, является множество всех касательных к окружности $\omega_2$ с центром в точке $M$ и радиусом $r_2 = |P_2Q_2|$.

Вывод из анализа.
Искомая прямая $p$ должна одновременно принадлежать обоим геометрическим местам, то есть она должна быть общей касательной к двум вспомогательным окружностям: $\omega_1(O, r_1)$ и $\omega_2(M, r_2)$.

Алгоритм построения:

1. Построение радиуса $r_1$.
а) Построить середину отрезка $P_1Q_1$ для получения отрезка длиной $|P_1Q_1|/2$.
б) Построить прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной радиусу $R$ данной окружности, и одним из катетов, равным $|P_1Q_1|/2$. Длина второго катета и будет искомым радиусом $r_1$. Это построение возможно только в случае, если $R \ge |P_1Q_1|/2$. Если $R < |P_1Q_1|/2$, задача не имеет решений.

2. Построение вспомогательных окружностей.
а) Построить окружность $\omega_1$ с центром в точке $O$ и радиусом $r_1$.
б) Построить окружность $\omega_2$ с центром в точке $M$ и радиусом $r_2$, равным длине отрезка $P_2Q_2$.

3. Построение общих касательных.
Построить все общие касательные к окружностям $\omega_1$ и $\omega_2$. Это стандартная задача на построение. Каждая из построенных общих касательных будет являться искомой прямой $p$.

Исследование числа решений:

Число решений задачи зависит от возможности построения радиуса $r_1$ и от количества общих касательных у окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$.
1. Если $R < |P_1Q_1|/2$, решений нет.
2. Если $R \ge |P_1Q_1|/2$, то радиус $r_1$ существует. Число решений определяется взаимным расположением окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $d = |OM|$ — расстояние между их центрами. - 4 решения (две внешние и две внутренние касательные), если $d > r_1 + r_2$. - 3 решения (две внешние и одна внутренняя), если $d = r_1 + r_2$. - 2 решения (только внешние), если $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$. - 1 решение (одна общая), если $d = |r_1 - r_2|$ и $d \ne 0$. - 0 решений, если $d < |r_1 - r_2|$ или если $d=0$ и $r_1 \ne r_2$. - Бесконечно много решений, если $d=0$ и $r_1=r_2$ (окружности совпадают).

Ответ:
Искомая прямая $p$ является общей касательной к двум вспомогательным окружностям: $\omega_1$ с центром $O$ и радиусом $r_1 = \sqrt{R^2 - (|P_1Q_1|/2)^2}$ (где $R$ - радиус исходной окружности), и $\omega_2$ с центром $M$ и радиусом $r_2 = |P_2Q_2|$. Построение сводится к нахождению этих окружностей и построению их общих касательных. Число решений (0, 1, 2, 3, 4 или бесконечно много) зависит от исходных данных.