Номер 895, страница 218 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 895, страница 218.

Условие.

895 Для неравностороннего треугольника $ABC$ точка $O$ является центром описанной окружности, $H$ — точка пересечения прямых, содержащих высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, точки $A_2$, $B_2$, $C_2$ — середины отрезков $AH$, $BH$, $CH$, а точки $A_3$, $B_3$, $C_3$ — середины сторон треугольника $ABC$. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, $A_2$, $B_2$, $C_2$, $A_3$, $B_3$, $C_3$ лежат на одной окружности (окружность Эйлера).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Для доказательства того, что девять указанных точек лежат на одной окружности, мы определим центр и радиус этой окружности, а затем покажем, что каждая из девяти точек удовлетворяет уравнению этой окружности. Эта окружность известна как окружность Эйлера или окружность девяти точек.

Центром окружности Эйлера является точка $E$, которая является серединой отрезка $OH$, соединяющего центр описанной окружности $O$ и ортоцентр $H$ треугольника $ABC$. Радиус окружности Эйлера равен $R_E = \frac{R}{2}$, где $R$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC$.

Для удобства воспользуемся векторным методом. Поместим начало координат в центр описанной окружности $O$. Тогда для вершин треугольника $A, B, C$ справедливы равенства $|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = R$. Радиус-вектор ортоцентра $H$ выражается формулой $\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$. Радиус-вектор центра окружности Эйлера $E$, как середины отрезка $OH$, равен $\vec{OE} = \frac{1}{2}\vec{OH} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{2}$.

Доказательство проведём в три этапа для каждой из трёх групп точек.

Доказательство для середин сторон $A_3, B_3, C_3$

Точка $A_3$ является серединой стороны $BC$, её радиус-вектор $\vec{OA_3} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}$.
Найдём расстояние от точки $E$ до точки $A_3$. Для этого вычислим вектор $\vec{EA_3}$:
$\vec{EA_3} = \vec{OA_3} - \vec{OE} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2} - \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{2} = -\frac{\vec{OA}}{2}$.
Теперь найдём квадрат длины этого вектора (квадрат расстояния $EA_3$):
$|\vec{EA_3}|^2 = \left|-\frac{\vec{OA}}{2}\right|^2 = \frac{1}{4}|\vec{OA}|^2 = \frac{R^2}{4}$.
Следовательно, расстояние $EA_3 = \frac{R}{2}$.
Аналогично, для точек $B_3$ (середины $AC$) и $C_3$ (середины $AB$) получаем: $\vec{EB_3} = -\frac{\vec{OB}}{2}$, откуда $EB_3 = \frac{R}{2}$.
$\vec{EC_3} = -\frac{\vec{OC}}{2}$, откуда $EC_3 = \frac{R}{2}$.
Таким образом, точки $A_3, B_3, C_3$ лежат на окружности с центром в $E$ и радиусом $\frac{R}{2}$.

Доказательство для середин отрезков $AH, BH, CH$ (точки $A_2, B_2, C_2$)

Точка $A_2$ является серединой отрезка $AH$, её радиус-вектор $\vec{OA_2} = \frac{\vec{OA} + \vec{OH}}{2}$.
Найдём расстояние от точки $E$ до точки $A_2$. Для этого вычислим вектор $\vec{EA_2}$:
$\vec{EA_2} = \vec{OA_2} - \vec{OE} = \frac{\vec{OA} + \vec{OH}}{2} - \frac{\vec{OH}}{2} = \frac{\vec{OA}}{2}$.
Найдём квадрат расстояния $EA_2$:
$|\vec{EA_2}|^2 = \left|\frac{\vec{OA}}{2}\right|^2 = \frac{1}{4}|\vec{OA}|^2 = \frac{R^2}{4}$.
Следовательно, расстояние $EA_2 = \frac{R}{2}$.
Аналогично для точек $B_2$ (середины $BH$) и $C_2$ (середины $CH$) получаем, что $EB_2 = \frac{R}{2}$ и $EC_2 = \frac{R}{2}$.
Таким образом, точки $A_2, B_2, C_2$ лежат на той же окружности с центром в $E$ и радиусом $\frac{R}{2}$.

Доказательство для оснований высот $A_1, B_1, C_1$

Рассмотрим отрезок $A_2A_3$. Найдём его середину, вычислив её радиус-вектор:
$\frac{\vec{OA_2} + \vec{OA_3}}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\vec{OA} + \vec{OH}}{2} + \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}\right) = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OH}}{4}$.
Подставив $\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$, получаем:
$\frac{(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) + \vec{OH}}{4} = \frac{\vec{OH} + \vec{OH}}{4} = \frac{2\vec{OH}}{4} = \frac{\vec{OH}}{2} = \vec{OE}$.
Середина отрезка $A_2A_3$ совпадает с точкой $E$. Это означает, что $A_2A_3$ является диаметром окружности, на которой лежат первые шесть доказанных точек.
Точка $A_1$ — это основание высоты, проведённой из вершины $A$ к стороне $BC$. Следовательно, угол $\angle AA_1C$ (или $\angle AA_1B$) является прямым, то есть $AA_1 \perp BC$.
Рассмотрим угол $\angle A_2A_1A_3$. Точка $A_2$ лежит на отрезке $AH$, который принадлежит прямой $AA_1$. Точки $A_1$ и $A_3$ лежат на прямой $BC$. Значит, прямая $A_2A_1$ совпадает с высотой $AA_1$, а прямая $A_1A_3$ совпадает с прямой $BC$.
Так как $AA_1 \perp BC$, то и $A_2A_1 \perp A_1A_3$, откуда следует, что $\angle A_2A_1A_3 = 90^\circ$.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Поскольку угол $\angle A_2A_1A_3$ прямой, точка $A_1$ лежит на окружности с диаметром $A_2A_3$.
Аналогично доказывается, что $B_2B_3$ и $C_2C_3$ являются диаметрами той же окружности, и что $\angle B_2B_1B_3 = 90^\circ$ и $\angle C_2C_1C_3 = 90^\circ$. Следовательно, точки $B_1$ и $C_1$ также лежат на этой окружности.

Таким образом, все девять точек ($A_1, B_1, C_1$, $A_2, B_2, C_2$, $A_3, B_3, C_3$) лежат на одной и той же окружности с центром в точке $E$ (середине отрезка $OH$) и радиусом $R/2$.

Ответ: Доказано, что точки $A_1, B_1, C_1, A_2, B_2, C_2, A_3, B_3, C_3$ лежат на одной окружности.