Номер 889, страница 218 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 889, страница 218.

Условие.

889 Произвольная точка $X$ окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABC$, соединена отрезками с его вершинами. Докажите, что один из отрезков $AX$, $BX$ и $CX$ равен сумме двух других отрезков.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ и окружность, описанная около него. Пусть $X$ — произвольная точка на этой окружности. Вершины $A$, $B$, $C$ делят окружность на три равные дуги. Точка $X$ должна лежать на одной из этих дуг. Без ограничения общности, предположим, что точка $X$ лежит на меньшей дуге $BC$. В этом случае нам нужно доказать, что $AX = BX + CX$. Для других положений точки $X$ доказательство будет аналогичным.

Для доказательства воспользуемся методом поворота. Рассмотрим поворот плоскости вокруг точки $B$ на угол $60^\circ$ против часовой стрелки (предполагая, что вершины $A, B, C$ расположены в этом порядке).

При таком повороте, так как треугольник $ABC$ равносторонний ($BC = BA$ и $\angle CBA = 60^\circ$), точка $C$ перейдет в точку $A$. Пусть точка $X$ при этом повороте перейдет в некоторую точку $X'$. Таким образом, треугольник $BXC$ переходит в треугольник $BX'A$.

Поскольку поворот является движением и сохраняет расстояния, мы имеем следующие равенства длин отрезков:
1. $BX = BX'$
2. $CX = AX'$

Рассмотрим треугольник $BXX'$. По определению поворота, угол $\angle XBX' = 60^\circ$. Так как по свойству поворота $BX = BX'$, то треугольник $BXX'$ является равнобедренным с углом при вершине $60^\circ$. Следовательно, треугольник $BXX'$ — равносторонний. Из этого следует, что все его стороны равны: $BX = BX' = XX'$.

Теперь рассмотрим расположение точек $A$, $X'$ и $X$. Мы покажем, что они лежат на одной прямой, причем точка $X'$ лежит между $A$ и $X$. Для этого достаточно доказать, что угол $\angle AX'X$ является развернутым, то есть $\angle AX'X = 180^\circ$.

Угол $\angle AX'X$ можно представить как сумму углов $\angle AX'B$ и $\angle BX'X$.
Мы уже установили, что $\angle BX'X = 60^\circ$, так как треугольник $BXX'$ равносторонний.
Найдем величину угла $\angle AX'B$. Поскольку треугольник $BX'A$ является образом треугольника $BXC$ при повороте, то их соответствующие углы равны: $\angle AX'B = \angle CXB$.

Точки $A, B, X, C$ лежат на одной окружности и, в рассматриваемом случае, образуют вписанный четырёхугольник $ABXC$. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle CXB + \angle CAB = 180^\circ$.
Так как треугольник $ABC$ равносторонний, $\angle CAB = 60^\circ$.
Отсюда получаем $\angle CXB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Следовательно, и $\angle AX'B = 120^\circ$.

Теперь мы можем вычислить угол $\angle AX'X$:
$\angle AX'X = \angle AX'B + \angle BX'X = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ$.

Развернутый угол $\angle AX'X$ означает, что точки $A, X', X$ лежат на одной прямой, и точка $X'$ находится между точками $A$ и $X$. Следовательно, длина отрезка $AX$ равна сумме длин отрезков $AX'$ и $X'X$:
$AX = AX' + X'X$.

Используя равенства, полученные ранее ($CX = AX'$ и $BX = XX'$), выполним подстановку в последнее выражение:
$AX = CX + BX$.

Таким образом, мы доказали, что если точка $X$ лежит на дуге $BC$, то отрезок $AX$ равен сумме отрезков $BX$ и $CX$. Аналогично можно доказать, что если точка $X$ лежит на дуге $AC$, то $BX = AX + CX$, а если на дуге $AB$, то $CX = AX + BX$. Во всех случаях один из отрезков равен сумме двух других, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В зависимости от дуги, на которой находится точка $X$, выполняется одно из равенств: $AX = BX+CX$, $BX = AX+CX$ или $CX = AX+BX$.