Номер 885, страница 218 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 885, страница 218.

Условие.

885 Через каждую вершину треугольника $ABC$ проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине. Проведённые прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим его внутренние углы при вершинах $A$, $B$, $C$ как $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ соответственно.

Пусть $l_A$, $l_B$, $l_C$ — биссектрисы внутренних углов $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ треугольника $ABC$.

По условию задачи, через каждую вершину треугольника $ABC$ проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе угла при этой вершине.

Рассмотрим вершину $A$. Прямая, проведенная через точку $A$ перпендикулярно биссектрисе внутреннего угла $l_A$, является биссектрисой внешнего угла при вершине $A$. Это следует из того, что внутренний и смежный с ним внешний угол в сумме дают $180^\circ$, а их биссектрисы делят эти углы пополам, поэтому угол между биссектрисами равен $\frac{\alpha}{2} + \frac{180^\circ - \alpha}{2} = \frac{\alpha}{2} + 90^\circ - \frac{\alpha}{2} = 90^\circ$.

Таким образом, три проведенные прямые, которые образуют новый треугольник, являются биссектрисами внешних углов треугольника $ABC$.

Пусть эти прямые (биссектрисы внешних углов) пересекаются и образуют новый треугольник $A'B'C'$, где:

• $A'$ — точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах $B$ и $C$.
• $B'$ — точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах $A$ и $C$.
• $C'$ — точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах $A$ и $B$.

Нам нужно доказать, что вершины $A'$, $B'$, $C'$ лежат на прямых, содержащих биссектрисы внутренних углов треугольника $ABC$ (то есть на прямых $l_A$, $l_B$, $l_C$).

Докажем, что вершина $A'$ лежит на биссектрисе $l_A$.

Точка $A'$ лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине $B$. По свойству биссектрисы, любая ее точка равноудалена от сторон угла. Следовательно, точка $A'$ равноудалена от прямых $AB$ и $BC$.

Точка $A'$ также лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине $C$. Следовательно, она равноудалена от прямых $AC$ и $BC$.

Из этих двух утверждений следует, что точка $A'$ равноудалена от прямых $AB$ и $AC$. А множество точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых (в данном случае $AB$ и $AC$), есть пара биссектрис углов, образованных этими прямыми. То есть, $A'$ лежит либо на биссектрисе внутреннего угла $A$, либо на биссектрисе внешнего угла $A$.

Однако точка $A'$ является точкой пересечения биссектрис внешних углов при вершинах $B$ и $C$, а не $A$. Эта точка является центром вневписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся стороны $BC$. Эта точка всегда лежит на биссектрисе внутреннего угла, противолежащего этой стороне, то есть на биссектрисе $l_A$.

Таким образом, вершина $A'$ лежит на прямой, содержащей биссектрису $l_A$.

Аналогично доказывается, что:

• Вершина $B'$, как точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах $A$ и $C$, равноудалена от прямых $BA$ и $BC$, а значит, лежит на биссектрисе внутреннего угла $B$, то есть на прямой $l_B$.
• Вершина $C'$, как точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах $A$ и $B$, равноудалена от прямых $CA$ и $CB$, а значит, лежит на биссектрисе внутреннего угла $C$, то есть на прямой $l_C$.

Следовательно, все вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника $ABC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на том, что прямая, перпендикулярная биссектрисе внутреннего угла треугольника в его вершине, является биссектрисой внешнего угла при той же вершине. Новый треугольник $A'B'C'$ образован пересечением этих биссектрис внешних углов. Каждая вершина этого нового треугольника (например, $A'$, образованная пересечением биссектрис внешних углов при $B$ и $C$) является центром вневписанной окружности для исходного треугольника. По свойству центров вневписанных окружностей, каждая такая точка равноудалена от трех прямых, содержащих стороны треугольника $ABC$, и, в частности, точка $A'$ равноудалена от прямых $AB$ и $AC$, что означает, что она лежит на биссектрисе внутреннего угла $A$. Аналогично для вершин $B'$ и $C'$. Таким образом, утверждение доказано.