Номер 888, страница 218 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 888, страница 218.

Условие.

888 Из вершины $B$ треугольника $ABC$ проведены высота $BH$ и биссектриса угла $B$, которая пересекает в точке $E$ описанную около треугольника окружность с центром $O$. Докажите, что луч $BE$ является биссектрисой угла $OBH$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Для доказательства того, что луч $BE$ является биссектрисой угла $OBH$, необходимо доказать равенство углов $\angle HBE$ и $\angle OBE$.

1. Свойство биссектрисы вписанного угла

Поскольку $BE$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, она делит этот угол на два равных: $\angle ABE = \angle CBE$. Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. И наоборот, равные вписанные углы опираются на равные дуги. Следовательно, дуга $AE$ равна дуге $CE$. Это означает, что точка $E$ — середина дуги $AC$, не содержащей вершину $B$.

2. Взаимное расположение радиуса $OE$ и хорды $AC$

Радиус, проведенный в середину дуги, перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу. Так как $E$ — середина дуги $AC$, радиус $OE$ перпендикулярен хорде $AC$. То есть, $OE \perp AC$.

3. Параллельность высоты и радиуса

По определению, высота $BH$ перпендикулярна стороне $AC$, то есть $BH \perp AC$. Так как прямые $BH$ и $OE$ обе перпендикулярны одной и той же прямой $AC$, они параллельны друг другу: $BH \parallel OE$.

4. Равенство накрест лежащих углов

Рассмотрим параллельные прямые $BH$ и $OE$ и секущую $BE$. Накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны, следовательно, $\angle HBE = \angle OEB$.

5. Свойства треугольника $OBE$

Рассмотрим треугольник $OBE$. Отрезки $OB$ и $OE$ являются радиусами описанной окружности, поэтому $OB = OE$. Это значит, что треугольник $OBE$ — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В $\triangle OBE$ углы при основании $BE$ равны: $\angle OBE = \angle OEB$.

6. Заключение

Из равенств, полученных в шагах 4 и 5, имеем:

$\angle HBE = \angle OEB$

$\angle OBE = \angle OEB$

Отсюда следует, что $\angle HBE = \angle OBE$. Это и означает, что луч $BE$ является биссектрисой угла $OBH$, что и требовалось доказать.

Ответ:

Утверждение доказано.