Номер 890, страница 218 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 890, страница 218.

Условие.

890 Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть $ABCD$ — вписанный в окружность четырехугольник, диагонали которого $AC$ и $BD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $M$. Пусть $R$ — радиус описанной окружности, а $D$ — ее диаметр ($D=2R$). Требуется доказать, что $AB^2 + CD^2 = D^2$ и, аналогично, $BC^2 + AD^2 = D^2$.

Доказательство для пары сторон AB и CD

1. Применим обобщенную теорему синусов к треугольнику $ABC$, который вписан в ту же окружность, что и четырехугольник:
$\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = 2R = D$
Отсюда выразим сторону $AB$: $AB = D \cdot \sin(\angle ACB)$.

2. Аналогично для треугольника $ACD$:
$\frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = 2R = D$
Отсюда $CD = D \cdot \sin(\angle CAD)$.

3. Найдем сумму квадратов этих противоположных сторон:
$AB^2 + CD^2 = (D \cdot \sin(\angle ACB))^2 + (D \cdot \sin(\angle CAD))^2 = D^2 (\sin^2(\angle ACB) + \sin^2(\angle CAD))$.

4. Для завершения доказательства необходимо показать, что выражение в скобках равно 1, то есть $\sin^2(\angle ACB) + \sin^2(\angle CAD) = 1$. Это будет верным, если мы докажем, что $\angle ACB + \angle CAD = 90^\circ$.

5. Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписанный, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle ACB$ и $\angle ADB$ опираются на дугу $AB$, поэтому $\angle ACB = \angle ADB$.

6. По условию задачи диагонали перпендикулярны, следовательно, $\angle AMD = 90^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMD$. Сумма его острых углов равна $90^\circ$:
$\angle DAM + \angle ADM = 90^\circ$.
Так как $\angle DAM$ это тот же угол, что и $\angle CAD$, а $\angle ADM$ — тот же, что и $\angle ADB$, мы можем записать:
$\angle CAD + \angle ADB = 90^\circ$.

7. Используя равенство из пункта 5, заменим в последнем уравнении $\angle ADB$ на $\angle ACB$:
$\angle CAD + \angle ACB = 90^\circ$.

8. Теперь мы можем преобразовать сумму квадратов синусов, используя основное тригонометрическое тождество. Так как $\angle ACB = 90^\circ - \angle CAD$, то $\sin(\angle ACB) = \sin(90^\circ - \angle CAD) = \cos(\angle CAD)$.
$\sin^2(\angle ACB) + \sin^2(\angle CAD) = \cos^2(\angle CAD) + \sin^2(\angle CAD) = 1$.

9. Подставим этот результат в выражение из пункта 3:
$AB^2 + CD^2 = D^2 \cdot 1 = D^2$.

Доказательство для пары сторон BC и AD

Доказательство для второй пары сторон проводится полностью аналогично.
1. Из теоремы синусов для $\triangle BCD$ и $\triangle ABD$ имеем: $BC = D \cdot \sin(\angle BDC)$ и $AD = D \cdot \sin(\angle ABD)$.
2. Сумма их квадратов: $BC^2 + AD^2 = D^2 (\sin^2(\angle BDC) + \sin^2(\angle ABD))$.
3. Вписанные углы $\angle BDC$ и $\angle BAC$ опираются на дугу $BC$, значит, $\angle BDC = \angle BAC$.
4. В прямоугольном $\triangle AMB$ ($\angle AMB = 90^\circ$) имеем $\angle BAC + \angle ABD = 90^\circ$.
5. Заменив $\angle BAC$ на $\angle BDC$, получаем: $\angle BDC + \angle ABD = 90^\circ$.
6. Следовательно, $\sin^2(\angle BDC) + \sin^2(\angle ABD) = \cos^2(\angle ABD) + \sin^2(\angle ABD) = 1$.
7. В итоге, $BC^2 + AD^2 = D^2 \cdot 1 = D^2$.

Таким образом, мы доказали, что для вписанного четырехугольника с перпендикулярными диагоналями сумма квадратов длин противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности.
Ответ: Утверждение доказано.