Номер 886, страница 218 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 886, страница 218.

Условие.

886 Пусть $H$ — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника $ABC$, а $A'$, $B'$, $C'$ — точки, симметричные точке $H$ относительно прямых $BC$, $CA$, $AB$. Докажите, что точки $A'$, $B'$, $C'$ лежат на окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$ (точка пересечения его высот). Нам нужно доказать, что точки $A'$, $B'$, $C'$, симметричные точке $H$ относительно сторон треугольника, лежат на его описанной окружности.

Докажем это утверждение для точки $A'$. Доказательства для точек $B'$ и $C'$ будут полностью аналогичны.

1. Свойства симметрии.
Точка $A'$ симметрична точке $H$ относительно прямой $BC$. По определению осевой симметрии, прямая $BC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $HA'$. Это означает, что любая точка на прямой $BC$ равноудалена от $H$ и $A'$. В частности, $HB = A'B$ и $HC = A'C$. Рассмотрим треугольники $\triangle HBC$ и $\triangle A'BC$. У них:

• $HB = A'B$ (по свойству симметрии)
• $HC = A'C$ (по свойству симметрии)
• $BC$ — общая сторона

Следовательно, $\triangle HBC = \triangle A'BC$ по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BA'C = \angle BHC$.

2. Свойство углов, связанных с ортоцентром.
Теперь найдем связь между углом $\angle BHC$ и углом $\angle A$ ($\angle BAC$) треугольника $ABC$. Пусть $H_b$ и $H_c$ — основания высот, опущенных из вершин $B$ и $C$ на стороны $AC$ и $AB$ соответственно. Рассмотрим четырехугольник $AH_cHH_b$. В этом четырехугольнике:

• $\angle AH_cH = 90^\circ$, так как $CH_c$ — высота.
• $\angle AH_bH = 90^\circ$, так как $BH_b$ — высота.

Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Таким образом, для четырехугольника $AH_cHH_b$:$\angle H_cAH_b + \angle AH_cH + \angle H_cH H_b + \angle HH_bA = 360^\circ$Подставляя известные значения, получаем:$\angle BAC + 90^\circ + \angle H_cH H_b + 90^\circ = 360^\circ$$\angle BAC + \angle H_cH H_b = 180^\circ$Углы $\angle H_cH H_b$ и $\angle BHC$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $\angle H_cH H_b = \angle BHC$. Значит, мы можем записать: $\angle BAC + \angle BHC = 180^\circ$.

3. Заключение.
Из шага 1 мы знаем, что $\angle BA'C = \angle BHC$. Из шага 2 мы знаем, что $\angle BAC + \angle BHC = 180^\circ$. Подставив первое равенство во второе, получаем:$\angle BAC + \angle BA'C = 180^\circ$. Это равенство является признаком того, что четырехугольник $ABA'C$ является вписанным в окружность (сумма его противоположных углов равна $180^\circ$). Это означает, что точка $A'$ лежит на той же окружности, что и точки $A$, $B$ и $C$, то есть на описанной окружности треугольника $ABC$.

Аналогично, рассматривая симметрию относительно сторон $AC$ и $AB$, можно доказать, что $\angle ABC + \angle AB'C = 180^\circ$ и $\angle ACB + \angle AC'B = 180^\circ$. Это означает, что точки $B'$ и $C'$ также лежат на описанной окружности треугольника $ABC$.

Ответ: Доказано, что точки $A'$, $B'$, $C'$ лежат на описанной окружности треугольника $ABC$.