Номер 880, страница 217 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 880, страница 217.

Условие.

880 Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Две прямые пересекаются в точке $P$, которая не лежит на окружности. Первая прямая пересекает окружность в точках $A$ и $B$, образуя хорду $AB$. Вторая прямая пересекает окружность в точках $C$ и $D$, образуя хорду $CD$. По условию задачи, длины этих хорд равны: $AB = CD$.
Требуется доказать, что расстояния от точки $P$ до концов хорды $AB$ соответственно равны расстояниям от точки $P$ до концов хорды $CD$. Это означает, что если мы упорядочим расстояния (от меньшего к большему), то меньшее расстояние для первой хорды будет равно меньшему для второй, а большее — большему.

Доказательство:

1. Опустим из центра окружности $O$ перпендикуляры $OM$ на хорду $AB$ и $ON$ на хорду $CD$. По свойству перпендикуляра из центра к хорде, точки $M$ и $N$ являются серединами этих хорд, то есть $AM = MB = \frac{1}{2}AB$ и $CN = ND = \frac{1}{2}CD$.

2. В окружности равные хорды находятся на равном расстоянии от центра. Так как по условию $AB = CD$, то и расстояния от центра $O$ до этих хорд равны: $OM = ON$.

3. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle OMP$ и $\triangle ONP$ (углы $\angle OMP$ и $\angle ONP$ прямые по построению).

• $OP$ — общая гипотенуза.
• $OM = ON$ — равные катеты, как было показано в п. 2.

Следовательно, $\triangle OMP \cong \triangle ONP$ по гипотенузе и катету.

4. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $PM = PN$.

5. Также, так как $AB = CD$, то равны и их половины: $AM = MB = CN = ND$.

6. Теперь рассмотрим два возможных случая расположения точки $P$.
Случай 1: Точка $P$ находится вне окружности.
Пусть точки на первой прямой расположены в порядке $P, A, B$, а на второй — в порядке $P, C, D$. Тогда расстояния от точки $P$ до концов хорд вычисляются следующим образом:

• $PA = PM - AM$
• $PB = PM + MB$
• $PC = PN - CN$
• $PD = PN + ND$

Поскольку мы доказали, что $PM = PN$ (п. 4) и $AM = CN$ (п. 5), то $PA = PM - AM = PN - CN = PC$.
Аналогично, поскольку $PM = PN$ и $MB = ND$ (п. 5), то $PB = PM + MB = PN + ND = PD$.
Таким образом, $PA = PC$ и $PB = PD$, что и требовалось доказать.

Случай 2: Точка $P$ находится внутри окружности.
В этом случае точка $P$ лежит на обеих хордах. Расстояния от $P$ до концов хорды $AB$ — это длины отрезков $PA$ и $PB$. Их сумма $PA + PB = AB$. Аналогично, $PC + PD = CD$.
Длины этих отрезков можно выразить через отрезки $PM$ и $AM$. Например, если точка $P$ лежит между точками $A$ и $M$, то $PA = AM - PM$ и $PB = MB + PM = AM + PM$. Если же $P$ лежит между $M$ и $B$, то $PA = AM + PM$ и $PB = MB - PM = AM - PM$. В любом случае, два расстояния от $P$ до концов хорды $AB$ равны $|AM - PM|$ и $AM + PM$.
Аналогично, два расстояния от $P$ до концов хорды $CD$ равны $|CN - PN|$ и $CN + PN$.
Так как мы доказали, что $PM = PN$ (п. 4) и $AM = CN$ (п. 5), то получаем, что набор расстояний для хорды $AB$ $\{|AM - PM|, AM + PM\}$ совпадает с набором расстояний для хорды $CD$ $\{|CN - PN|, CN + PN\}$.
Это означает, что меньшее расстояние от $P$ до конца хорды $AB$ равно меньшему расстоянию до конца хорды $CD$, а большее расстояние равно большему.

Таким образом, в обоих случаях доказано, что расстояния от точки пересечения прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.

Ответ: Утверждение доказано.