Номер 878, страница 217 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 878, страница 217.

Условие.

878 Прямая $AC$ — касательная к окружности с центром $O_1$, а прямая $BD$ — касательная к окружности с центром $O_2$ (рис. 270).

Докажите, что:

а) $AD \parallel BC$;

б) $AB^2 = AD \cdot BC$;

в) $BD^2 : AC^2 = AD : BC$.

Рис. 270

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

а) По условию, прямая $AC$ является касательной к окружности с центром $O_1$ в точке $A$, а $AB$ — хорда этой окружности. По теореме об угле между касательной и хордой, величина угла $\angle CAB$ равна величине вписанного угла, опирающегося на дугу $AB$, то есть $\angle CAB = \angle ADB$. Аналогично, для окружности с центром $O_2$, прямая $BD$ является касательной в точке $B$, а $AB$ — хордой. Следовательно, $\angle DBA = \angle ACB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle DAB$ и $\triangle CBA$. В них есть две пары равных углов: $\angle ADB = \angle CAB$ и $\angle ABD = \angle BCA$. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то и третьи углы этих треугольников равны, то есть $\angle DAB = \angle CBA$.

Углы $\angle DAB$ и $\angle CBA$ являются внутренними накрест лежащими углами для прямых $AD$ и $BC$ при секущей $AB$. Поскольку эти углы равны, прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

Ответ: Доказано, что $AD \parallel BC$.

б) В пункте а) мы доказали, что $\triangle DAB$ и $\triangle CBA$ имеют три пары равных углов: $\angle DAB = \angle CBA$, $\angle ABD = \angle BCA$ и $\angle BDA = \angle CAB$. Это означает, что треугольники подобны по трём углам. Сопоставляя равные углы, находим соответствие вершин: $A \leftrightarrow B$, $B \leftrightarrow C$, $D \leftrightarrow A$. Таким образом, $\triangle ABD \sim \triangle BCA$.

Из подобия треугольников следует, что отношение длин соответствующих сторон равно: $\frac{AB}{BC} = \frac{BD}{CA} = \frac{AD}{BA}$.

Рассмотрим первую и третью части этого соотношения: $\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{BA}$. По свойству пропорции (перекрёстное умножение) получаем $AB \cdot BA = AD \cdot BC$, или $AB^2 = AD \cdot BC$.

Ответ: Доказано, что $AB^2 = AD \cdot BC$.

в) Воспользуемся соотношением сторон подобных треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle BCA$, полученным в пункте б): $\frac{AB}{BC} = \frac{BD}{AC} = \frac{AD}{AB}$. Обозначим это отношение через коэффициент подобия $k$.

Из равенства $\frac{BD}{AC} = k$ следует, что $\frac{BD^2}{AC^2} = k^2$.

Из равенств $\frac{AD}{AB} = k$ и $\frac{AB}{BC} = k$ выразим $AD$ и $AB$: $AD = k \cdot AB$ и $AB = k \cdot BC$. Подставим второе выражение в первое: $AD = k \cdot (k \cdot BC) = k^2 \cdot BC$.

Из полученного равенства $AD = k^2 \cdot BC$ выразим $k^2$: $k^2 = \frac{AD}{BC}$.

Теперь мы имеем два выражения для $k^2$. Приравняем их: $\frac{BD^2}{AC^2} = \frac{AD}{BC}$. Это равенство эквивалентно пропорции $BD^2 : AC^2 = AD : BC$.

Ответ: Доказано, что $BD^2 : AC^2 = AD : BC$.