Номер 871, страница 216 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 871, страница 216.

Условие.

871. Постройте равнобедренный треугольник по углу между боковыми сторонами и сумме основания и высоты, проведённой к основанию.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Для решения задачи построения равнобедренного треугольника по заданным элементам используется метод анализа и построения вспомогательной фигуры, из которой затем получается искомый треугольник.

Анализ

Предположим, что искомый равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$ и вершиной $A$ уже построен. Пусть $AD$ — его высота, проведённая к основанию. По условию задачи, нам даны угол при вершине $\angle BAC = \alpha$ и сумма длин основания и высоты $S = BC + AD$.

В равнобедренном треугольнике высота $AD$, опущенная на основание, является также медианой и биссектрисой. Это означает, что точка $D$ является серединой отрезка $BC$ (то есть $BC = 2DC$), а также $AD$ делит угол $\angle BAC$ пополам (то есть $\angle CAD = \angle BAD = \alpha/2$).

Продолжим высоту $AD$ за точку $D$ и отложим на этой прямой отрезок $DP$, длина которого равна длине основания $BC$. В таком случае, длина всего отрезка $AP$ будет равна $AD + DP = AD + BC = S$. Таким образом, мы получаем отрезок $AP$, длина которого равна известной нам величине $S$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $PDC$. Угол $\angle PDC$ является прямым, так как $AD \perp BC$. В этом треугольнике катет $DP = BC$, а катет $DC = BC/2$. Из этого следует, что $DP = 2DC$.

Отношение катетов в прямоугольном треугольнике $PDC$ является постоянной величиной: $\tan(\angle DPC) = \frac{DC}{DP} = \frac{DC}{2DC} = \frac{1}{2}$.

Обозначим угол $\angle DPC$ как $\beta$. Этот угол $\beta$ можно однозначно построить с помощью циркуля и линейки, так как его тангенс — известное рациональное число.

Теперь обратим внимание на треугольник $APC$. Для этого треугольника нам известны следующие элементы:

• Длина стороны $AP = S$.
• Угол при вершине $A$, а именно $\angle PAC$, который совпадает с углом $\angle CAD$ и равен $\alpha/2$.
• Угол при вершине $P$, а именно $\angle APC$, который совпадает с углом $\angle DPC$ и равен $\beta$.

Таким образом, мы можем построить треугольник $APC$ по стороне $AP$ и двум прилежащим к ней углам. После того как треугольник $APC$ будет построен, мы сможем найти точку $D$ как основание перпендикуляра, опущенного из вершины $C$ на прямую $AP$. Зная положение точек $C$ и $D$, мы легко найдём вершину $B$, так как $D$ — середина $BC$. Соединив точки $A$, $B$ и $C$, мы получим искомый треугольник.

Построение

1. Построим вспомогательный угол $\beta$ такой, что $\tan(\beta) = 1/2$. Для этого строим прямоугольный треугольник с катетами произвольной длины $k$ и $2k$. Угол, противолежащий катету $k$, будет равен $\beta$.
2. Проведём произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AP$, равный данной в условии сумме $S$.
3. В точке $A$ отложим от луча $AP$ угол, равный $\alpha/2$, в некоторую полуплоскость.
4. В точке $P$ отложим от луча $PA$ угол, равный $\beta$ (построенному в шаге 1), в ту же самую полуплоскость.
5. Точка пересечения лучей, построенных в шагах 3 и 4, будет вершиной $C$. Таким образом, мы построили вспомогательный треугольник $APC$.
6. Из точки $C$ опустим перпендикуляр на прямую $AP$. Точку пересечения (основание перпендикуляра) обозначим $D$.
7. На прямой $CD$ отложим от точки $D$ отрезок $DB$, равный отрезку $DC$, так, чтобы точка $D$ лежала между $B$ и $C$.
8. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ и будет искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. По построению, $AD$ является высотой к стороне $BC$. Также по построению ($DB=DC$), $AD$ является медианой. Треугольник, в котором высота и медиана к одной стороне совпадают, является равнобедренным. Следовательно, $AB = AC$.

2. Угол при вершине. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, его высота $AD$ является также и биссектрисой. Значит, $\angle BAC = 2\angle CAD$. По построению $\triangle APC$, $\angle CAD = \angle PAC = \alpha/2$. Следовательно, $\angle BAC = 2 \cdot (\alpha/2) = \alpha$.

3. Сумма основания и высоты. Высота треугольника — $AD$. Основание — $BC = 2DC$. В прямоугольном $\triangle PDC$, по построению, $\angle DPC = \beta$ и $\tan(\beta)=1/2$. Из определения тангенса: $\tan(\angle DPC) = \frac{DC}{DP}$. Отсюда $\frac{DC}{DP} = \frac{1}{2}$, что означает $DP = 2DC$. Так как $BC = 2DC$, мы имеем $DP = BC$. Сумма основания и высоты построенного треугольника равна $BC + AD = DP + AD = AP$. По построению, длина отрезка $AP$ равна $S$.

Все условия задачи выполнены, следовательно, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: Алгоритм построения искомого треугольника, основанный на анализе и построении вспомогательного треугольника, а также доказательство его корректности, изложены выше.