Номер 865, страница 216 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 865, страница 216.

Условие.

865 В треугольнике ABC, сторона AC которого в два раза больше стороны BC, проведены биссектриса CM и биссектриса внешнего угла при вершине C, пересекающая прямую AB в точке K. Докажите, что

$S_{BCM} = \frac{1}{2}S_{ACM} = \frac{1}{3}S_{ABC} = \frac{1}{2}S_{CMK}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 10.

Для решения задачи воспользуемся свойствами биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника, а также формулой площади треугольника.

По условию, в треугольнике $ABC$ сторона $AC$ в два раза больше стороны $BC$, то есть $AC = 2BC$.

1. $CM$ — биссектриса внутреннего угла $\angle ACB$. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону $AB$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:$$ \frac{AM}{MB} = \frac{AC}{BC} $$Подставляя данное из условия соотношение сторон $AC = 2BC$, получаем:$$ \frac{AM}{MB} = \frac{2BC}{BC} = 2 \implies AM = 2MB $$

2. $CK$ — биссектриса внешнего угла при вершине $C$. По свойству биссектрисы внешнего угла, она пересекает продолжение стороны $AB$ в точке $K$ так, что выполняется соотношение:$$ \frac{AK}{BK} = \frac{AC}{BC} $$Подставляя $AC = 2BC$, получаем:$$ \frac{AK}{BK} = \frac{2BC}{BC} = 2 \implies AK = 2BK $$Поскольку точка $K$ лежит на прямой $AB$ вне отрезка $AB$, то $AK = AB + BK$. Подставив это в полученное равенство, имеем:$$ AB + BK = 2BK \implies AB = BK $$

Теперь докажем каждое из равенств, представленных в задаче.

$S_{BCM} = \frac{1}{2}S_{ACM}$

Рассмотрим треугольники $\triangle BCM$ и $\triangle ACM$. Они имеют общую вершину $C$, а их основания $MB$ и $AM$ лежат на одной прямой. Следовательно, высота $h_C$, проведенная из вершины $C$ к прямой $AB$, у них общая. Отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований:$$ \frac{S_{BCM}}{S_{ACM}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot MB \cdot h_C}{\frac{1}{2} \cdot AM \cdot h_C} = \frac{MB}{AM} $$Как мы установили ранее, $AM = 2MB$. Подставим это в отношение:$$ \frac{S_{BCM}}{S_{ACM}} = \frac{MB}{2MB} = \frac{1}{2} $$Отсюда следует, что $S_{BCM} = \frac{1}{2}S_{ACM}$.
Ответ: Равенство доказано.

$S_{BCM} = \frac{1}{3}S_{ABC}$

Площадь треугольника $ABC$ является суммой площадей треугольников $BCM$ и $ACM$:$$ S_{ABC} = S_{BCM} + S_{ACM} $$Из предыдущего пункта мы знаем, что $S_{ACM} = 2S_{BCM}$. Подставим это выражение в формулу для площади $\triangle ABC$:$$ S_{ABC} = S_{BCM} + 2S_{BCM} = 3S_{BCM} $$Из этого соотношения получаем:$$ S_{BCM} = \frac{1}{3}S_{ABC} $$
Ответ: Равенство доказано.

$S_{BCM} = \frac{1}{2}S_{CMK}$

Рассмотрим треугольники $\triangle BCM$ и $\triangle CMK$. Они имеют общую вершину $C$, а их основания $BM$ и $MK$ лежат на одной прямой $AK$. Следовательно, у них общая высота $h_C$, проведенная из вершины $C$ к прямой $AK$. Отношение их площадей равно отношению их оснований:$$ \frac{S_{BCM}}{S_{CMK}} = \frac{BM}{MK} $$Найдем длину отрезка $MK$. Точки на прямой расположены в порядке $A-M-B-K$. Таким образом, $MK = MB + BK$. Из анализа свойств биссектрис мы получили:1. $AB = BK$2. $AB = AM + MB = 2MB + MB = 3MB$Следовательно, $BK = 3MB$. Теперь можем найти длину $MK$:$$ MK = MB + BK = MB + 3MB = 4MB $$Подставим это соотношение в формулу для отношения площадей:$$ \frac{S_{BCM}}{S_{CMK}} = \frac{BM}{4MB} = \frac{1}{4} $$Таким образом, мы получаем, что $S_{BCM} = \frac{1}{4}S_{CMK}$. Это противоречит утверждению $S_{BCM} = \frac{1}{2}S_{CMK}$ из условия задачи. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка.
Ответ: Утверждение в условии неверно. На основе данных задачи доказывается, что правильное соотношение $S_{BCM} = \frac{1}{4}S_{CMK}$.