Номер 868, страница 216 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 868, страница 216.

Условие.

868 Через вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая прямые $BD$, $CD$ и $BC$ соответственно в точках $M$, $N$ и $P$. Докажите, что отрезок $AM$ является средним пропорциональным между $MN$ и $MP$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 10.

Для доказательства того, что отрезок $AM$ является средним пропорциональным между $MN$ и $MP$ (то есть, что выполняется равенство $AM^2 = MN \cdot MP$), воспользуемся методом подобных треугольников.

Сначала рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle NDM$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Так как точка $N$ лежит на прямой $CD$, то прямая, содержащая отрезок $DN$, также параллельна $AB$ ($AB \parallel DN$).

Прямая $BD$ является секущей для параллельных прямых $AB$ и $DN$. Следовательно, накрест лежащие углы при этой секущей равны: $\angle ABM = \angle NDM$.

Углы $\angle AMB$ и $\angle NMD$ равны как вертикальные углы, образованные при пересечении прямых $AP$ и $BD$.

Таким образом, по первому признаку подобия (по двум углам), треугольник $\triangle ABM$ подобен треугольнику $\triangle NDM$ ($\triangle ABM \sim \triangle NDM$). Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{AM}{NM} = \frac{BM}{DM}$

Теперь рассмотрим другую пару треугольников: $\triangle ADM$ и $\triangle PBM$.

В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ также параллельны ($AD \parallel BC$). Так как точка $P$ лежит на прямой $BC$, то $AD \parallel PB$.

Прямая $BD$ является секущей для этих параллельных прямых, поэтому накрест лежащие углы $\angle ADM$ и $\angle PBM$ равны.

Углы $\angle AMD$ и $\angle PMB$ равны как вертикальные.

Следовательно, по двум углам, треугольник $\triangle ADM$ подобен треугольнику $\triangle PBM$ ($\triangle ADM \sim \triangle PBM$). Из подобия этих треугольников следует пропорциональность сторон:

$\frac{AM}{PM} = \frac{DM}{BM}$

Из полученной пропорции выразим отношение $\frac{BM}{DM}$. Для этого "перевернем" обе дроби:

$\frac{PM}{AM} = \frac{BM}{DM}$

Теперь у нас есть два выражения для одного и того же отношения $\frac{BM}{DM}$:

1) Из подобия $\triangle ABM \sim \triangle NDM$: $\frac{AM}{NM} = \frac{BM}{DM}$

2) Из подобия $\triangle ADM \sim \triangle PBM$: $\frac{PM}{AM} = \frac{BM}{DM}$

Приравнивая левые части этих равенств, получаем новую пропорцию:

$\frac{AM}{NM} = \frac{PM}{AM}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$AM \cdot AM = NM \cdot PM$

$AM^2 = MN \cdot MP$

Это равенство и означает, что отрезок $AM$ является средним пропорциональным между отрезками $MN$ и $MP$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Выполняется равенство $AM^2 = MN \cdot MP$.