Номер 870, страница 216 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 870, страница 216.

Условие.

870. Точка C лежит на отрезке AB. Постройте точку D прямой AB, не лежащую на отрезке AB, так, чтобы $ \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB} $. Всегда ли задача имеет решение?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 10.

Для построения искомой точки D выполним следующие действия:

1. Проведем прямую, на которой лежат точки A, C, B.
2. Через точку A проведем произвольный луч l, не лежащий на прямой AB.
3. Через точку B проведем луч m, параллельный лучу l и направленный в ту же полуплоскость относительно прямой AB.
4. На луче l отложим от точки A отрезок AE, длина которого равна длине отрезка AC.
5. На луче m отложим от точки B отрезок BF, длина которого равна длине отрезка CB.
6. Проведем прямую через точки E и F.
7. Точка пересечения прямой EF и прямой AB является искомой точкой D.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $\triangle DAE$ и $\triangle DBF$. Так как по построению луч AE параллелен лучу BF, то эти треугольники подобны. Докажем это. Пусть прямые EF и AB пересекаются в точке D. Поскольку $AE \parallel BF$, то накрест лежащие углы при секущей EF равны: $\angle AED = \angle BFD$. Углы $\angle DAE$ и $\angle DBF$ также равны, так как они являются соответственными углами при параллельных прямых AE и BF и секущей AB (если рассмотреть прямые, проходящие через A и B и параллельные EF, или через углы с соответственно параллельными сторонами). Таким образом, $\triangle DAE \sim \triangle DBF$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответственных сторон:

$$ \frac{AD}{BD} = \frac{AE}{BF} $$

По построению мы выбрали длины отрезков AE и BF так, что $AE = AC$ и $BF = CB$. Подставляя эти значения в полученную пропорцию, получаем:

$$ \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB} $$

Это и есть требуемое соотношение. Так как лучи l и m лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB, то построенная точка D не будет лежать на отрезке AB.

Ответ: Построение точки D описано выше.

Всегда ли задача имеет решение?

Рассмотрим особый случай, когда точка C является серединой отрезка AB. В этом случае $AC = CB$, и, следовательно, отношение $\frac{AC}{CB} = 1$.

Тогда искомое равенство принимает вид:

$$ \frac{AD}{DB} = 1 \implies AD = DB $$

Это означает, что точка D должна быть равноудалена от точек A и B. На прямой AB единственная точка, удовлетворяющая этому условию, — это середина отрезка AB. Однако, по условию задачи, точка D не должна лежать на отрезке AB. Таким образом, если C — середина отрезка AB, то точки D, удовлетворяющей всем условиям задачи, не существует.

В нашем геометрическом построении, если $C$ — середина AB, то $AC = CB$, и, следовательно, $AE = BF$. Так как отрезки AE и BF параллельны, равны по длине и направлены в одну сторону, четырехугольник AEFB является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому прямая EF будет параллельна прямой AB. В евклидовой геометрии параллельные прямые не пересекаются, следовательно, точка D не может быть построена.

Таким образом, задача имеет решение только в том случае, если точка C не является серединой отрезка AB.

Ответ: Нет, не всегда. Задача имеет решение, если точка C не является серединой отрезка AB.