Номер 873, страница 216 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 873, страница 216.

Условие.

873 Постройте треугольник $ABC$, если даны $\angle A$, $\angle C$ и отрезок, равный сумме стороны $AC$ и высоты $BH$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 10.

Для решения этой задачи воспользуемся методом подобия. Идея состоит в том, чтобы сначала построить любой треугольник с заданными углами, а затем, используя данный отрезок, масштабировать его до нужных размеров.

Пусть даны углы $\angle A$ и $\angle C$, и отрезок $s$, такой что $s = AC + BH$, где $BH$ — высота искомого треугольника $ABC$, опущенная на сторону $AC$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Построим произвольный треугольник $A'B'C'$, подобный искомому. Для этого достаточно, чтобы $\angle A' = \angle A$ и $\angle C' = \angle C$. Проведем в нем высоту $B'H'$.

Поскольку $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$, отношение соответствующих сторон и высот равно коэффициенту подобия $k$: $ \frac{AC}{A'C'} = \frac{BH}{B'H'} = k $

Отсюда $AC = k \cdot A'C'$ и $BH = k \cdot B'H'$.

Нам дано, что $AC + BH = s$. Подставим выражения для $AC$ и $BH$: $ k \cdot A'C' + k \cdot B'H' = s $ $ k(A'C' + B'H') = s $

Обозначим сумму стороны и высоты вспомогательного треугольника как $s' = A'C' + B'H'$. Тогда $k \cdot s' = s$, откуда $k = \frac{s}{s'}$.

Таким образом, мы можем найти коэффициент подобия, построив вспомогательный треугольник и измерив в нем сторону $A'C'$ и высоту $B'H'$. Зная $k$, мы можем найти длину искомой стороны $AC = k \cdot A'C' = \frac{s}{s'} \cdot A'C'$. Эта величина является четвертой пропорциональной для отрезков $s'$, $s$ и $A'C'$, которую можно построить с помощью циркуля и линейки. После нахождения стороны $AC$ построение искомого треугольника не представляет труда.

Ответ: План решения состоит в построении подобного треугольника, нахождении для него суммы стороны и высоты $s'$, определении стороны искомого треугольника $AC$ как четвертого пропорционального отрезка к $s'$, $s$ и $A'C'$, и, наконец, построении самого треугольника $ABC$ по стороне и двум прилежащим углам.

Построение

1. На произвольной прямой $l$ отложим произвольный отрезок $A'C'$.
2. От луча $A'C'$ отложим угол, равный данному $\angle A$, с вершиной в точке $A'$.
3. От луча $C'A'$ отложим угол, равный данному $\angle C$, с вершиной в точке $C'$.
4. Лучи, построенные в шагах 2 и 3, пересекутся в точке $B'$. Получили вспомогательный треугольник $A'B'C'$.
5. Из вершины $B'$ опустим перпендикуляр $B'H'$ на прямую $l$. Это высота вспомогательного треугольника.
6. На новой прямой отложим отрезок $s'$, равный сумме длин отрезков $A'C'$ и $B'H'$. Для этого можно последовательно отложить отрезки $A'C'$ и $B'H'$ один за другим.
7. Теперь построим отрезок $AC$, который является четвертым пропорциональным к отрезкам $s'$, $s$ (данный) и $A'C'$. Для этого:
   • Начертим произвольный угол с вершиной в точке $O$.
   • На одном луче угла отложим последовательно отрезки $OK = s'$ и $OL = s$.
   • На другом луче угла отложим отрезок $OM = A'C'$.
   • Соединим точки $K$ и $M$.
   • Проведем через точку $L$ прямую, параллельную прямой $KM$. Эта прямая пересечет второй луч в точке $N$.
   • Отрезок $ON$ будет искомой стороной $AC$. По теореме о пропорциональных отрезках, $\frac{ON}{OM} = \frac{OL}{OK}$, то есть $\frac{AC}{A'C'} = \frac{s}{s'}$.
8. На прямой отложим построенный отрезок $AC$.
9. От луча $AC$ отложим угол, равный данному $\angle A$, с вершиной в точке $A$.
10. От луча $CA$ отложим угол, равный данному $\angle C$, с вершиной в точке $C$.
11. Точка пересечения построенных лучей будет вершиной $B$.

Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Построение выполнено согласно описанным шагам.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ по построению $\angle CAB = \angle A$ и $\angle ACB = \angle C$. Следовательно, два условия задачи выполнены.

Докажем, что выполняется третье условие: $AC + BH = s$.

По построению $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ имеют по два равных угла ($\angle A = \angle A'$, $\angle C = \angle C'$), следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ по первому признаку подобия.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон и высот: $ \frac{AC}{A'C'} = \frac{BH}{B'H'} $

При построении отрезка $AC$ (в шаге 7) мы получили, что $\frac{AC}{A'C'} = \frac{s}{s'}$.

Следовательно, $ \frac{BH}{B'H'} = \frac{s}{s'} \implies BH = \frac{s}{s'} \cdot B'H' $

Теперь найдем сумму стороны $AC$ и высоты $BH$: $ AC + BH = \frac{s}{s'} \cdot A'C' + \frac{s}{s'} \cdot B'H' = \frac{s}{s'} (A'C' + B'H') $

По построению (шаг 6), $s' = A'C' + B'H'$. Подставим это в предыдущее равенство: $ AC + BH = \frac{s}{s'} \cdot s' = s $

Таким образом, третье условие также выполнено. Треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: Доказано, что построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда возможно построить треугольник с заданными углами $\angle A$ и $\angle C$. Для этого необходимо и достаточно, чтобы сумма этих углов была меньше развернутого угла: $ \angle A + \angle C < 180^\circ $

Также необходимо, чтобы сами углы были положительными: $\angle A > 0$ и $\angle C > 0$. Длина заданного отрезка $s$ также должна быть положительной.

Если эти условия выполнены, то вспомогательный треугольник $A'B'C'$ существует, его сторона $A'C'$ и высота $B'H'$ — отрезки ненулевой длины. Построение четвертого пропорционального отрезка всегда возможно и однозначно. Построение искомого треугольника по стороне и двум прилежащим углам также всегда возможно и однозначно.

Следовательно, при выполнении условия $\angle A > 0$, $\angle C > 0$ и $\angle A + \angle C < 180^\circ$ задача всегда имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение.

Ответ: Задача имеет единственное решение, если сумма данных углов меньше $180^\circ$ и каждый из углов больше $0^\circ$.