Номер 872, страница 216 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 872, страница 216.

Условие.

872. Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть нам даны три отрезка, задающие длины двух сторон треугольника $b$ и $c$, и длину биссектрисы $l_a$ угла, заключенного между этими сторонами. Требуется построить треугольник $ABC$, в котором $AC = b$, $AB = c$, а длина биссектрисы угла $A$ равна $l_a$.

Для решения задачи воспользуемся методом вспомогательного построения, который состоит из четырех этапов: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $AD$ — биссектриса угла $BAC$, где $D \in BC$, и $AD = l_a$.
1. Продлим биссектрису $AD$ за точку $D$ и на этом продолжении построим точку $E$ так, чтобы прямая $CE$ была параллельна стороне $AB$.
2. Рассмотрим углы, образованные при параллельных прямых $AB$ и $CE$ и секущей $AE$:
- $\angle BAD = \angle AEC$ (как соответственные углы при $AB \parallel CE$ и секущей $AE$).
- Так как $AD$ — биссектриса, то $\angle BAD = \angle CAD$.
- Из двух предыдущих равенств следует, что $\angle CAD = \angle AEC$.
3. Полученное равенство углов означает, что треугольник $ACE$ является равнобедренным с основанием $AE$, откуда следует, что $AC = CE$. Так как по условию $AC=b$, то и $CE=b$.
4. Теперь рассмотрим треугольники $DBA$ и $DCE$. Они подобны по двум углам:
- $\angle ADB = \angle CDE$ (как вертикальные углы).
- $\angle ABD = \angle ECD$ (как накрест лежащие углы при $AB \parallel CE$ и секущей $BC$).
5. Из подобия треугольников $DBA$ и $DCE$ следует пропорциональность их сторон: $$ \frac{AD}{DE} = \frac{AB}{CE} $$ Подставим известные длины: $$ \frac{l_a}{DE} = \frac{c}{b} $$ Отсюда выразим длину отрезка $DE$: $$ DE = \frac{l_a \cdot b}{c} $$
6. Теперь мы можем найти длину всего отрезка $AE$: $$ AE = AD + DE = l_a + \frac{l_a \cdot b}{c} = l_a \left(1 + \frac{b}{c}\right) = \frac{l_a(b+c)}{c} $$

Таким образом, анализ сводит задачу к построению вспомогательного треугольника $ACE$, для которого известны длины всех трех сторон: $AC = b$, $CE = b$ и $AE = \frac{l_a(b+c)}{c}$. Построив этот треугольник, мы легко найдем положение вершины $B$.

Построение

1. Построение отрезка длиной $AE = \frac{l_a(b+c)}{c}$.
Для этого воспользуемся теоремой о пропорциональных отрезках (или построением подобных треугольников).
а) Построим отрезок, равный сумме длин $b+c$.
б) Начертим произвольный угол с вершиной в точке $O$.
в) На одной стороне угла отложим отрезки $OK = c$ и $OL = b+c$.
г) На другой стороне угла отложим отрезок $OM = l_a$.
д) Соединим точки $K$ и $M$.
е) Через точку $L$ проведем прямую, параллельную отрезку $KM$. Пусть она пересечет вторую сторону угла в точке $N$.
ж) Из подобия треугольников $OKM$ и $OLN$ следует, что $\frac{ON}{OM} = \frac{OL}{OK}$, откуда $ON = \frac{OM \cdot OL}{OK} = \frac{l_a(b+c)}{c}$. Отрезок $ON$ и есть искомый отрезок $AE$.
2. Построение вспомогательного треугольника $ACE$.
Строим треугольник по трем сторонам ($b$, $b$, $AE$).
а) Проведем прямую и отложим на ней построенный отрезок $AE$.
б) Из точки $A$ как из центра проведем дугу окружности радиусом $b$.
в) Из точки $E$ как из центра проведем дугу окружности радиусом $b$.
г) Точка пересечения этих дуг (любая из двух) будет вершиной $C$. Соединим точки $A$, $C$ и $E$. Треугольник $ACE$ построен.
3. Построение искомого треугольника $ABC$.
а) Через вершину $A$ проведем прямую, параллельную стороне $CE$.
б) На этой прямой отложим от точки $A$ отрезок $AB$ длиной $c$.
в) Соединим точки $B$ и $C$.

Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

По построению стороны $AC$ и $AB$ равны $b$ и $c$ соответственно. Покажем, что отрезок $AD$ (где $D$ - точка пересечения $AE$ и $BC$) является биссектрисой угла $BAC$ и имеет длину $l_a$.
1. По построению $AB \parallel CE$. Прямая $AE$ является секущей, следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle BAE = \angle AEC$.
2. Треугольник $ACE$ по построению равнобедренный ($AC=CE=b$), значит, углы при основании равны: $\angle CAE = \angle AEC$.
3. Из этих двух равенств следует, что $\angle BAE = \angle CAE$. Поскольку точка $D$ лежит на отрезке $AE$, луч $AD$ является биссектрисой угла $BAC$.
4. Найдем длину $AD$. Из параллельности $AB \parallel CE$ следует подобие треугольников $\triangle DBA \sim \triangle DCE$. Из подобия имеем: $$ \frac{AD}{DE} = \frac{AB}{CE} = \frac{c}{b} $$ Следовательно, $AE = AD + DE = AD + AD \cdot \frac{b}{c} = AD \left(1+\frac{b}{c}\right) = AD \frac{b+c}{c}$. Отсюда $$ AD = \frac{AE \cdot c}{b+c} $$
5. При построении мы выбрали длину отрезка $AE$ равной $AE = \frac{l_a(b+c)}{c}$. Подставив это значение в полученную формулу, получим: $$ AD = \frac{\frac{l_a(b+c)}{c} \cdot c}{b+c} = l_a $$

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение, если возможно построить вспомогательный треугольник $ACE$. Для этого должно выполняться неравенство треугольника для его сторон $b$, $b$ и $AE = \frac{l_a(b+c)}{c}$. Наиболее сильное условие: $b+b > AE$. $$ 2b > \frac{l_a(b+c)}{c} $$ $$ 2bc > l_a(b+c) $$ $$ l_a < \frac{2bc}{b+c} $$

Следовательно, задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если длина биссектрисы меньше, чем удвоенное гармоническое среднее длин заданных сторон. Если $l_a \ge \frac{2bc}{b+c}$, то задача решения не имеет.

Ответ: Алгоритм построения, основанный на анализе и построении вспомогательного треугольника, подробно описан выше. Задача имеет единственное решение при выполнении условия $l_a < \frac{2bc}{b+c}$.