Номер 866, страница 216 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 866, страница 216.

Условие.

866 Стороны треугольника EFG соответственно равны медианам треугольника ABC. Докажите, что $ \frac{S_{EFG}}{S_{ABC}} = \frac{3}{4} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть стороны треугольника $ABC$ равны $a, b, c$, а медианы, проведенные к этим сторонам, равны $m_a, m_b, m_c$ соответственно. По условию, стороны треугольника $EFG$ равны этим медианам, то есть $EF = m_a, FG = m_b, GE = m_c$. Для доказательства воспользуемся векторным методом.

Расположим вершину $A$ треугольника $ABC$ в начале координат. Тогда вершины треугольника можно представить векторами $\vec{A} = \vec{0}, \vec{B}, \vec{C}$. Стороны треугольника, исходящие из вершины $A$, будут представлены векторами $\vec{AB} = \vec{B}$ и $\vec{AC} = \vec{C}$. Площадь треугольника $ABC$ ($S_{ABC}$) выражается через векторное произведение этих векторов:$S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} |\vec{B} \times \vec{C}|$.

Теперь найдем векторы, соответствующие медианам $m_a, m_b, m_c$. Пусть $A', B', C'$ - середины сторон $BC, AC, AB$ соответственно. Вектор медианы $m_a$ (из $A$ к $A'$):$\vec{m}_a = \vec{AA'} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}$. Вектор медианы $m_b$ (из $B$ к $B'$):$\vec{m}_b = \vec{BB'} = \vec{B'} - \vec{B} = \frac{\vec{C}}{2} - \vec{B}$. Вектор медианы $m_c$ (из $C$ к $C'$):$\vec{m}_c = \vec{CC'} = \vec{C'} - \vec{C} = \frac{\vec{B}}{2} - \vec{C}$.

Покажем, что из этих трех медиан можно составить треугольник. Для этого достаточно проверить, что сумма соответствующих векторов равна нулевому вектору:$\vec{m}_a + \vec{m}_b + \vec{m}_c = \left(\frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}\right) + \left(\frac{\vec{C}}{2} - \vec{B}\right) + \left(\frac{\vec{B}}{2} - \vec{C}\right)$$= \left(\frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2}\right)\vec{B} + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1\right)\vec{C} = 0 \cdot \vec{B} + 0 \cdot \vec{C} = \vec{0}$. Так как сумма векторов равна нулю, из них можно составить замкнутую фигуру — треугольник.

Площадь треугольника $EFG$, построенного на медианах, можно найти как половину модуля векторного произведения двух векторов, образующих его стороны, например, $\vec{m}_a$ и $\vec{m}_b$:$S_{EFG} = \frac{1}{2} |\vec{m}_a \times \vec{m}_b|$. Вычислим это векторное произведение:$\vec{m}_a \times \vec{m}_b = \left(\frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}\right) \times \left(\frac{\vec{C}}{2} - \vec{B}\right)$$= \frac{1}{4} (\vec{B} + \vec{C}) \times (\vec{C} - 2\vec{B})$$= \frac{1}{4} (\vec{B} \times \vec{C} - \vec{B} \times 2\vec{B} + \vec{C} \times \vec{C} - \vec{C} \times 2\vec{B})$.

Используя свойства векторного произведения ($\vec{v} \times \vec{v} = \vec{0}$ и $\vec{u} \times \vec{v} = - \vec{v} \times \vec{u}$), получаем:$\vec{m}_a \times \vec{m}_b = \frac{1}{4} (\vec{B} \times \vec{C} - 2(\vec{0}) + \vec{0} - 2(\vec{C} \times \vec{B}))$$= \frac{1}{4} (\vec{B} \times \vec{C} - 2(-\vec{B} \times \vec{C}))$$= \frac{1}{4} (\vec{B} \times \vec{C} + 2\vec{B} \times \vec{C}) = \frac{3}{4}(\vec{B} \times \vec{C})$.

Теперь подставим полученное выражение в формулу для площади $S_{EFG}$:$S_{EFG} = \frac{1}{2} \left|\frac{3}{4}(\vec{B} \times \vec{C})\right| = \frac{3}{4} \left(\frac{1}{2} |\vec{B} \times \vec{C}|\right)$. Так как $S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{B} \times \vec{C}|$, мы получаем:$S_{EFG} = \frac{3}{4} S_{ABC}$.

Отсюда следует искомое отношение площадей:$\frac{S_{EFG}}{S_{ABC}} = \frac{3}{4}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $\frac{S_{EFG}}{S_{ABC}} = \frac{3}{4}$.