Номер 860, страница 215 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 860, страница 215.

Условие.

860 Докажите, что если отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон, то этот четырёхугольник — трапеция или параллелограмм.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Рассмотрим выпуклый четырехугольник $ABCD$. Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $CD$. По условию задачи, длина отрезка $MN$ равна полусумме длин двух других сторон $BC$ и $AD$:

$MN = \frac{BC + AD}{2}$

Для доказательства воспользуемся методом векторов. Пусть вершины четырехугольника заданы радиус-векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ относительно некоторого начала координат.

Тогда радиус-векторы середин сторон $M$ и $N$ будут равны:

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

$\vec{n} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$

Найдем вектор $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = \vec{n} - \vec{m} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{b})$

Сгруппируем слагаемые иначе, чтобы выразить $\vec{MN}$ через векторы сторон $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}((\vec{c} - \vec{b}) + (\vec{d} - \vec{a})) = \frac{1}{2}(\vec{BC} + \vec{AD})$

Это важное векторное равенство, справедливое для любого четырехугольника. Теперь перейдем к длинам (модулям) векторов. Длина отрезка $MN$ — это модуль вектора $\vec{MN}$:

$MN = |\vec{MN}| = |\frac{1}{2}(\vec{BC} + \vec{AD})| = \frac{1}{2}|\vec{BC} + \vec{AD}|$

Длины сторон $BC$ и $AD$ — это модули векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$: $BC=|\vec{BC}|$ и $AD=|\vec{AD}|$.

Подставим эти выражения в исходное условие задачи $MN = \frac{BC + AD}{2}$:

$\frac{1}{2}|\vec{BC} + \vec{AD}| = \frac{|\vec{BC}| + |\vec{AD}|}{2}$

Умножив обе части на 2, получим:

$|\vec{BC} + \vec{AD}| = |\vec{BC}| + |\vec{AD}|$

Это равенство является случаем неравенства треугольника для векторов ($|\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|$). Равенство в данном неравенстве достигается тогда и только тогда, когда векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ сонаправлены (коллинеарны и направлены в одну сторону).

Следовательно, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ сонаправлены. Это означает, что прямые, на которых лежат стороны $BC$ и $AD$, параллельны ($BC \parallel AD$).

Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, по определению является трапецией. Если при этом длины этих сторон равны ($BC = AD$), то четырехугольник является параллелограммом, который можно считать частным случаем трапеции.

Таким образом, доказано, что если отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника, равен полусумме двух других сторон, то этот четырехугольник — трапеция или параллелограмм.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, где $M$ - середина $AB$, $N$ - середина $CD$, и $MN = \frac{1}{2}(AD+BC)$. Проведем диагональ $AC$ и отметим ее середину $K$. В треугольнике $ABC$ отрезок $MK$ является средней линией, следовательно $MK = \frac{1}{2}BC$ и $MK \parallel BC$. Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $KN$ является средней линией, поэтому $KN = \frac{1}{2}AD$ и $KN \parallel AD$. Рассмотрим треугольник $MKN$. По неравенству треугольника $MN \le MK + KN$. Подставляя известные нам значения, получаем: $MN \le \frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}(BC+AD)$. По условию задачи дано, что $MN = \frac{1}{2}(BC+AD)$. Это означает, что неравенство треугольника для точек $M, K, N$ обращается в равенство: $MN = MK + KN$. Такое возможно только в том случае, если точка $K$ лежит на отрезке $MN$. Если точки $M, K, N$ лежат на одной прямой, то отрезки $MK$ и $KN$, являющиеся частями этой прямой, коллинеарны. Поскольку $MK \parallel BC$ и $KN \parallel AD$, а отрезки $MK$ и $KN$ лежат на одной прямой, то прямые $BC$ и $AD$ также параллельны друг другу: $BC \parallel AD$. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, является трапецией. Если, кроме того, эти стороны равны, то четырехугольник является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.