Номер 858, страница 215 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 858, страница 215.

Условие.

858 Докажите, что если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника не параллельны, то их полусумма больше отрезка, соединяющего середины двух других противоположных сторон.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Обозначим $M$ и $N$ как середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. По условию, противоположные стороны $BC$ и $AD$ не параллельны. Нам нужно доказать, что полусумма их длин больше длины отрезка $MN$, то есть:

$\frac{BC + AD}{2} > MN$

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть $A, B, C, D$ — это не только вершины четырёхугольника, но и их радиус-векторы, проведенные из некоторого начала координат $O$.

Тогда радиус-векторы середин сторон $M$ и $N$ можно выразить следующим образом:

$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$

$\vec{ON} = \frac{\vec{OC} + \vec{OD}}{2}$

Теперь выразим вектор $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = \frac{\vec{OC} + \vec{OD}}{2} - \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{OC} - \vec{OB} + \vec{OD} - \vec{OA})$

Заметим, что $\vec{OC} - \vec{OB} = \vec{BC}$ и $\vec{OD} - \vec{OA} = \vec{AD}$. Подставим это в наше выражение:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{BC} + \vec{AD})$

Теперь перейдём от векторов к их длинам (модулям). Длина отрезка $MN$ равна модулю вектора $\vec{MN}$:

$MN = |\vec{MN}| = |\frac{1}{2}(\vec{BC} + \vec{AD})| = \frac{1}{2}|\vec{BC} + \vec{AD}|$

Воспользуемся неравенством треугольника для векторов, которое гласит, что $|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$. Равенство достигается только в том случае, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и сонаправлены.

Применительно к нашей задаче:

$|\vec{BC} + \vec{AD}| \le |\vec{BC}| + |\vec{AD}|$

Длина вектора стороны равна длине самой стороны: $|\vec{BC}| = BC$ и $|\vec{AD}| = AD$. Таким образом:

$|\vec{BC} + \vec{AD}| \le BC + AD$

Подставим это в выражение для длины $MN$:

$MN = \frac{1}{2}|\vec{BC} + \vec{AD}| \le \frac{1}{2}(BC + AD)$

Теперь рассмотрим условие, при котором неравенство становится строгим. Равенство $MN = \frac{BC + AD}{2}$ возможно только тогда, когда выполняется равенство в неравенстве треугольника, то есть когда векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ коллинеарны и сонаправлены. Геометрически это означает, что стороны $BC$ и $AD$ параллельны.

Однако по условию задачи стороны $BC$ и $AD$ не параллельны. Следовательно, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ не коллинеарны, и для них неравенство треугольника будет строгим:

$|\vec{BC} + \vec{AD}| < BC + AD$

Разделив обе части на 2, получим:

$\frac{1}{2}|\vec{BC} + \vec{AD}| < \frac{1}{2}(BC + AD)$

А так как $MN = \frac{1}{2}|\vec{BC} + \vec{AD}|$, то окончательно получаем:

$MN < \frac{BC + AD}{2}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано с использованием векторного метода и неравенства треугольника для векторов. Ключевым моментом является то, что для непараллельных сторон (неколлинеарных векторов) неравенство треугольника является строгим.