Номер 853, страница 215 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 7 - номер 853, страница 215.

Условие.

853 Из точки $M$ внутренней области угла $AOB$ проведены перпендикуляры $MP$ и $MQ$ к его сторонам $OA$ и $OB$. Из точек $P$ и $Q$ проведены перпендикуляры $PR$ и $QS$ соответственно к $OB$ и $OA$. Докажите, что $RS \perp OM$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 10.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем систему координат с началом в точке $O$. Пусть $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — единичные векторы (орты), сонаправленные с лучами $OA$ и $OB$ соответственно. Пусть $\vec{m}$ — радиус-вектор точки $M$, то есть $\vec{OM} = \vec{m}$.

По условию, $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $OA$. Это означает, что вектор $\vec{OP}$ является ортогональной проекцией вектора $\vec{OM}$ на направление вектора $\vec{a}$. Обозначим радиус-вектор точки $P$ как $\vec{p}$. Формула для проекции вектора на орт имеет вид: $$ \vec{p} = (\vec{m} \cdot \vec{a})\vec{a} $$

Аналогично, $Q$ — основание перпендикуляра из $M$ на $OB$. Вектор $\vec{OQ}$ (обозначим его $\vec{q}$) является проекцией вектора $\vec{OM}$ на направление вектора $\vec{b}$: $$ \vec{q} = (\vec{m} \cdot \vec{b})\vec{b} $$

Далее, точка $S$ на луче $OA$ является основанием перпендикуляра из $Q$ на $OA$. Следовательно, вектор $\vec{OS}$ (обозначим его $\vec{s}$) является проекцией вектора $\vec{OQ}$ на направление вектора $\vec{a}$: $$ \vec{s} = (\vec{q} \cdot \vec{a})\vec{a} $$ Подставим в эту формулу выражение для $\vec{q}$. Учитывая, что скалярные произведения, такие как $(\vec{m} \cdot \vec{b})$, являются числами (скалярами), которые можно выносить за знак операции, получим: $$ \vec{s} = ( ((\vec{m} \cdot \vec{b})\vec{b}) \cdot \vec{a})\vec{a} = (\vec{m} \cdot \vec{b})(\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{a} $$

И, наконец, точка $R$ на луче $OB$ является основанием перпендикуляра из $P$ на $OB$. Вектор $\vec{OR}$ (обозначим его $\vec{r}$) является проекцией вектора $\vec{OP}$ на направление вектора $\vec{b}$: $$ \vec{r} = (\vec{p} \cdot \vec{b})\vec{b} $$ Подставим сюда выражение для $\vec{p}$: $$ \vec{r} = ( ((\vec{m} \cdot \vec{a})\vec{a}) \cdot \vec{b})\vec{b} = (\vec{m} \cdot \vec{a})(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{b} $$

Нам необходимо доказать, что $RS \perp OM$. Это эквивалентно тому, что скалярное произведение векторов $\vec{RS}$ и $\vec{OM}$ равно нулю. Выразим вектор $\vec{RS}$ через радиус-векторы его конца и начала: $\vec{RS} = \vec{s} - \vec{r}$. Тогда условие перпендикулярности запишется как: $$ \vec{RS} \cdot \vec{OM} = (\vec{s} - \vec{r}) \cdot \vec{m} = 0 $$ Раскроем скобки: $$ (\vec{s} - \vec{r}) \cdot \vec{m} = \vec{s} \cdot \vec{m} - \vec{r} \cdot \vec{m} $$

Теперь вычислим каждое слагаемое отдельно, используя полученные ранее выражения для $\vec{s}$ и $\vec{r}$: $$ \vec{s} \cdot \vec{m} = ((\vec{m} \cdot \vec{b})(\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{a}) \cdot \vec{m} $$ Вынося скалярные множители, получаем: $$ \vec{s} \cdot \vec{m} = (\vec{m} \cdot \vec{b})(\vec{b} \cdot \vec{a})(\vec{a} \cdot \vec{m}) $$

Аналогично для второго слагаемого: $$ \vec{r} \cdot \vec{m} = ((\vec{m} \cdot \vec{a})(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{b}) \cdot \vec{m} $$ $$ \vec{r} \cdot \vec{m} = (\vec{m} \cdot \vec{a})(\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{b} \cdot \vec{m}) $$

Сравним полученные выражения для $\vec{s} \cdot \vec{m}$ и $\vec{r} \cdot \vec{m}$. Скалярное произведение векторов коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), и произведение действительных чисел также коммутативно. Поэтому, переставив сомножители, мы видим, что правые части выражений идентичны: $$ (\vec{m} \cdot \vec{b})(\vec{b} \cdot \vec{a})(\vec{a} \cdot \vec{m}) = (\vec{m} \cdot \vec{a})(\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{b} \cdot \vec{m}) $$ Следовательно, $\vec{s} \cdot \vec{m} = \vec{r} \cdot \vec{m}$.

Тогда их разность равна нулю: $$ (\vec{s} - \vec{r}) \cdot \vec{m} = \vec{s} \cdot \vec{m} - \vec{r} \cdot \vec{m} = 0 $$ Равенство нулю скалярного произведения векторов $\vec{RS}$ и $\vec{OM}$ означает, что эти векторы ортогональны, то есть прямые $RS$ и $OM$ перпендикулярны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.